En aquest tema es demostra que la funció densitat de probabilitat d'una variable u que es calcula amb una funció u(x₁, x₂, ...., x_n) a partir dels valors x_i de n variables aleatòries gaussianes X_i de mitjana μ_i i desviació estàndard σ_i quan la funció u es pot aproximar per un desenvolupament en sèrie de Taylor a primer ordre prop dels valors x_i = μ_i, és una funció gaussiana de variància

on el subíndex μ indica que les derivades s'han d'avaluar amb els valors x_i = μ_i amb i = 1..n. Usant el símbol sumatori, l'expressió per a la desviació estàndard de la gaussiana és

Siguin {X₁, ..., X_n} un conjunt de n variables aleatòries gaussianes amb les funcions densitat de probabilitat

Es vol trobar la funció densitat de probabilitat de la variable

La funció densitat de probabilitat no té una expressió senzilla en el cas general, però és gaussiana quan la funció u es pot aproximar pel desenvolupament en sèrie de Taylor allà on les funcions densitat de probabilitat de totes les x_i tenen valors significatius. La demostració d'aquest fet es dóna a continuació.

La funció u aproximada per la sèrie de Taylor a primer ordre al voltant dels valors x_i = μ_i és

El subíndex μ indica que les derivades s'han d'avaluar amb x_i = μ_i, i = 1..n. Cada derivada parcial dóna un valor constant

Amb aquestes constants, en lloc de l'expressió exacta de la funció u, els valors es poden calcular usant l'aproximació

u(x₁, x₂, ..., x_n) ≈ c₀ + c₁ x₁ + ... + c_n x_n.

Aquesta és una suma de variables aleatòries gaussianes multiplicades per constants. El valor de la variable u es calcula amb una combinació lineal de variables aleatòries gaussianes. La funció densitat de probabilitat de la variable u és gaussiana amb

És important tenir present que aquest resultat és aproximat i que l'aproximació és bona en la mesura que la sèrie de Taylor a primer ordre de la funció u és una bona aproximació per els valors x_i que donen valors significatius de G_μi,σi(x), i = 1..n.