Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.
Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.
Propagació dels errors aleatoris
Variables calculades amb funcions de dues o més variables aleatòries gaussianes
Introducció «
En aquest tema es demostra que la funció densitat de probabilitat d'una variable u que es calcula amb una funció u(x1, x2, ...., xn) a partir dels valors xi de n variables aleatòries gaussianes Xi de mitjana μi i desviació estàndard σi quan la funció u es pot aproximar per un desenvolupament en sèrie de Taylor a primer ordre prop dels valors xi = μi, és una funció gaussiana de variància
on el subíndex μ indica que les derivades s'han d'avaluar amb els valors xi = μi amb i = 1..n. Usant el símbol sumatori, l'expressió per a la desviació estàndard de la gaussiana és
Demostració
«
Siguin {X1, ..., Xn} un conjunt de n variables aleatòries gaussianes amb les funcions densitat de probabilitat
Es vol trobar la funció densitat de probabilitat de la variable
La funció densitat de probabilitat no té una expressió senzilla en el cas general, però és gaussiana quan la funció u es pot aproximar pel desenvolupament en sèrie de Taylor allà on les funcions densitat de probabilitat de totes les xi tenen valors significatius. La demostració d'aquest fet es dóna a continuació.
La funció u aproximada per la sèrie de Taylor a primer ordre al voltant dels valors xi = μi és
El subíndex μ indica que les derivades s'han d'avaluar amb xi = μi, i = 1..n. Cada derivada parcial dóna un valor constant
Amb aquestes constants, en lloc de l'expressió exacta de la funció u, els valors es poden calcular usant l'aproximació
u(x1, x2, ..., xn) ≈ c0 + c1 x1 + ... + cn xn.
Aquesta és una suma de variables aleatòries gaussianes multiplicades per constants. El valor de la variable u es calcula amb una combinació lineal de variables aleatòries gaussianes. La funció densitat de probabilitat de la variable u és gaussiana amb
És important tenir present que aquest resultat és aproximat i que l'aproximació és bona en la mesura que la sèrie de Taylor a primer ordre de la funció u és una bona aproximació per els valors xi que donen valors significatius de Gμi,σi(x), i = 1..n.