Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.

Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.

Propagació de l'error

Sèries de Taylor

Funcions d'una variable «



Figura 1. Aproximació d'una funció (línia groga) per una sèrie de Taylor al voltant del punt marcat i truncada fins al grau indicat sobre el gràfic (línia verda).

La sèrie de Taylor en el punt x0 d'una funció f(x) diferenciable és

"ade_1.gif"

La sèrie amb els dos primers termes del sumatori escrits explícitament és

"ade_2.gif"

Quan la serie es calcula en el punt x0 = 0, es diu sèrie de Maclaurin,

"ade_3.gif"

Una de les aplicacions de les sèries de Taylor és usar-les truncades en substitució de la funció original. La sèrie truncada és un polinomi el qual pot simplificar alguns tractaments analítics. La diferència entre els valors de la funció i la sèrie truncada fins el terme de grau m és

"ade_4.gif"

on xc és un valor entre x i x0.

La Fig. 1 mostra els gràfics d'una funció i les sèries de Taylor truncades a graus diferents. Es mostren les sèries per a dos valors de x0.

Algunes sèries de Maclaurin usades freqüentment són

"ade_5.gif"

Nota »

La Fig. 2 mostra els gràfics de les sèries de Maclaurin de (1–x)-1 truncades a graus diferents.


Figura 2. Representació de la funció 1/(1-x) (línia groga) i la sèrie de Maclaurin truncada (línia verda) a diferents graus.

Funcions de dues variables «

La sèrie de Taylor d'una funció de dues variables f(x, y) en el punt (x0, y0) truncada a primer ordre és

"ade_7.gif"

La Fig. 3 mostra la representació de la funció de dues variables com una superfície que a cada punt (x, y) està a l'altura z = f(x, y). La sèrie de Taylor truncada a primer ordre dóna el pla tangent a la funció en el punt (x0, y0).

"ade_8.gif"

Figura 3. Pla tangent en el punt taronja a la superfície ondulada representativa d'una determinada funció de dues variables.

Funcions de n variables «

La sèrie de Taylor també es pot definir per a una funció de n variables f(x1, x2, ..., xn). La sèrie en el punt A = (x10, x20, ..., xn0) truncada a primer ordre és

"ade_9.gif"

Donada la funció de tres variables

"ade_10.gif"

la sèrie truncada a ordre 1 en el punt A tal que P = P0, v = v0 i θ = θ0 es determina calculant

"ade_11.gif"

Amb aquestes expressions es tendrà l'aproximació

"ade_12.gif"

Per exemple, amb P0 = 2.00, v0 = 5.0 i θ0 = 273, els valors exacte i aproximat de f(2.01, 5.1, 274) són 0.03819636 i 0.03819319, respectivament. Els decimals diferents s'han escrit en gris.