El valor esperat d'una variable aleatòria discreta es pot calcular si es coneix la funció de probabilitat. Si la variable és continua, s'ha de conèixer la funció densitat de probabilitat. En cas que no es coneguin les funcions de probabilitat, un estimador sense biaix del valor esperat és el valor mitjà d'una mostra.

El valor esperat d'una variable aleatòria discreta X amb un espai mostral Ω i una funció de probabilitat P_X(ν) és

Sigui X la variable aleatòria igual al número de punts que s'obtenen al llançar un dau. L'espai mostral Ω és {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La funció de probabilitat és constant P_X(ν) = 1/6, llavors:

Amb la funció RAN# d'una calculadora es pot simular el llançament d'un dau. Els números aleatoris de la calculadora estan entre 0 i 1. El valor es multiplica per 6, se li suma 1 i es pren la part sencera:

La repetició d'aquesta operació donarà un conjunt de valors que es podria haver obtingut amb un dau. Si es generen vint valors, s'obtindrà per exemple {1, 5, 5, 1, 5, 6, 3, 3, 5, 3, 4, 1, 5, 3, 3, 2, 6, 6, 1, 1}. La mitjana d'aquests valors és 3.45. Si es generen uns altres vint valors, s'obtendrà un altre conjunt amb una altra mitjana, per exemple 3.3 o 3.7. S'ha de notar que aquestes mitjanes són properes al valor esperat 7/2 = 3.5. E(X) dóna el valor que cal esperar fent una mitjana, és la mitjana que s'obtendrà amb més probabilitat.

Sigui X la variable aleatòria igual a la suma del número de punts que s'obtenen al llançar dos daus. L'espai mostral Ω és {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. La funció de probabilitat es pot calcular fàcilment. Les cares dels dos daus es poden combinar de 36 maneres diferents, només en 1 cas la suma serà 2 o 12, per tant, P_X(2) = P_X(12) = 1/36. En 2 casos la suma serà 3 (1+2 i 2+1) i també en dos casos serà 11 (5+6 i 6+5) per tant, P_X(3) = P_X(11) = 2/36. Es pot construir la taula següent per calcular el valor esperat:

El valor esperat dels punts d'un dau és 7/2 i el valor esperat de la suma dels punts de dos daus, és el doble. És una casualitat que 2×(7/2) = 7? És el valor esperat de la suma dels punts de tres daus 3×(7/2)? Aviat es donarà la resposta.

La variable aleatòria Y = u(X) també és discreta. Aquí se suposarà, per simplificar, que u(x₁) ≠ u(x₂) si x₁ ≠ x₂. de manera que la funció u i la inversa u^–1 són biunívoques.

El valor esperat de Y és

Atès que tot valor η s'ha obtingut d'un valor ν amb la funció u, es podrà canviar η per u(ν), P_Y(η) per P_X(u^–1(η)) i fer la suma sobre l'espai mostral de X:

Cas particular. U(X) = c constant

Encara que sembli innecessari remarcar que el valor esperat d'una constant sigui la constant, es pot notar que en l'expressió anterior es té

de manera que la constant surt fora del sumatori i aquest, per la normalització de la funció de probabilitat, val 1, proporcionant E(c) = c.

Siguin X i Y dues variables aleatòries discretes definides sobre els espais mostrals Ω i Ψ respectivament. Siguin a, b dos números reals, ν ∈ Ω i κ ∈ Ψ. El valor esperat de la combinació lineal de les dues variables aleatòries és

Quan no hi hagi correlació entre les dues variables

En tal cas,

El sumatori donarà

Els dos sumatoris de color blau valen 1 per la normalització de les funcions de probabilitat. Els sumatoris que queden són els valors esperats de X i de Y. per tant:

Es tracta del cas a = b = 1 i, directament, es té

E(X + Y) = E(X) + E(Y).

Per exemple, si X i Y són les variables aleatòries corresponents als punts d'un dau llançat a l'atzar, E(X) = E(Y) = 7/2. La variable X + Y és la suma dels punts. A l'exemple 2 es calculà explícitament que E(X + Y) = 7.

Atès que la suma de dues variables aleatòries és una variable aleatòria, el valor esperat de la suma de tres variables aleatòries es pot trobar aplicant dos pics el resultat obtingut per a la suma de dues variables:

E(a X + b Y + c Z) = E(a X) + E(b Y + c Z) = a E(X) + b E(Y) + c E(Z).

És immediat generalitzar el resultat a la suma d'un nombre qualsevol de variables aleatòries.

Sigui X una variable aleatòria i c una constant. Expandint el quadrat i usant els resultats dels subapartats anteriors resulta:

En el cas particular que c sigui igual a la mitjana poblacional, μ = E(X), es tendrà

Simplificant queda

Aquest cas no se sol poder avaluar en la pràctica perquè μ és desconegut.

El valor esperat d'una variable aleatòria continua X amb un espai mostral Ω i una densitat de probabilitat P_X(x) és

Sigui X una variable aleatòria continua amb densitat de probabilitat P_X(x). La variable aleatòria Y = u(X), on u és una funció monòtona, de manera que es pot definir X = u^–1(Y), té la densitat de probabilitat tal que

El valor esperat de la variable Y és

Fent els canvis en cada un dels termes (identificats amb els colors vermell, verd i blau) es té

Simplificant queda

La funció densitat de probabilitat de la variable aleatòria X igual a la suma de dos números aleatoris entre 0 i 1 és

El valor esperat de Y es calcularà amb la relació obtinguda com a resultat de l'apartat anterior i directament a partir de la definició.

La variable aleatòria Y = u(X) definida amb la funció monòmona

té la densitat de probabilitat

Com que la funció densitat de probabilitat està definida amb dues parts, la integral es descompon en dos intervals,

L'univers de la variable aleatòria Y és

perquè el valor més gran de l'arrel quadrada de la suma dels dos números aleatoris entre 0 i 1 és l'arrel quadrada de 2. Per tant,

La funció densitat de probabilitat de Y serà, aplicant la definició,

Fent el canvi de variable x per y, s'escriu

La funció densitat de probbilitat es mostra a la Fig. 1. El valor esperat és,

Figura 1. Funció densitat de probabilitat de l'arrel quadrada de la suma de dos números aleatoris dins l'interval [0, 1].

Siguin X i Y dues variables aleatòries continues definides sobre els espais mostrals Ω i Ψ respectivament. Siguin a, b dos números reals, x ∈ Ω i y ∈ Ψ. El valor esperat de la combinació lineal de les dues variables aleatòries és

Quan no hi hagi correlació entre les dues variables

En tal cas,

La integral donarà

Les integrals de color blau valen 1 per la normalització de les funcions densitat de probabilitat. Les integrals que queden són els valors esperats de X i de Y. Per tant,

E(a X + b Y) = a E(X) + b E(Y).

Aquest resultat és el mateix que per a una variable aleatòria discreta. De manera semblant també s'obtenen les relacions:

Siguin X i Y dues variables aleatòries amb el mateix espai mostral Ω i igual funció de distribució de probabilitat, els valors esperats de X i Y seran iguals, de manera que

Aquest resultat es pot generalitzar a n variables aleatòries X₁, X₂, ..., X_n:

I, per a una combinació lineal, on tots els coeficients siguin 1/n es tendrà

Una mostra de n elements de Ω es pot considerar com si fos una mostra de 1 element de cada una de les variables X_i. Quan es calcula la mitjana de la mostra, , és com calcular un valor de la variable aleatòria

Per tant E(M) = E(X): El valor esperat de la mitjana de la mostra és la mitjana poblacional. La mitjana de la mostra és un indicador estadístic sense biaix.

Es pot argumentar que el valor esperat d'una variable aleatòria amb una funció de probabilitat simètrica sigui l'abscissa de línia de simetria. A continuació s'escriurà la demostració en el cas d'una variable continua.

Sigui X una variable aleatòria continua amb l'univers

Ω = [c – a, c + a]

de manera que la funció densitat de probabilitat compleix

P_X(c – x) = P_X(c + x).

El valor esperat de X es determina amb la integral

Amb el canvi de variable

x = z + c

la integral serà

on P_Z(z) és simètrica respecte a z = 0. La integral serà

La segona integral dóna zero perquè la funció és imparell i l'interval d'integració simètric respecte de l'origen. Queda així