En aquest tema es descriu com trobar la mitjana i la variància d'un conjunt de valors C d'una variable aleatòria gaussiana a partir de les mitjanes i les variàncies de dos subconjunts complementaris A i B.

Primer es mostrarà el càlcul de la mitjana de C com una mitjana ponderada de les mitjanes dels subconjunts amb pesos determinats pels errors estàndard. Després es mostrarà el càlcul de l'error estàndard de C.

La generalització dels càlculs quan C es descompongui en més de dos subconjunts és immediata.

La importància pràctica dels resultats mostrats aquí és que l'error estàndard és la desviació estàndard de la funció de distribució de les mitjanes i l'error estàndard es pren usualment com la incertesa de la mitjana d'un conjunt de mesures experimentals obtingudes en presència d'errors aleatoris. Es tendrà un procediment per combinar diversos valors amb incerteses de la mateixa magnitud en un únic resultat.

Es demostrarà que diversos resultats x_a ± s_a, x_b ± s_b, ..., x_z ± s_c per a la mateixa magnitud física x es poden combinar amb un únic resultat. Definint els pesos w_k com els inversos de les variàncies, s_k^-2, es tendrà

Sigui X una variable aleatòria de mitjana μ i desviació estàndard σ i siguin A i B dos conjunts de n i m valors aleatoris d'aquesta variable:

A = {a₁, a₂, ..., a_n},
B = {b₁, b₂, ..., b_m}.

Les mitjanes d'aquests conjunts de valors són

En lloc d'usar l'expressió de la desviació estàndard d'una mostra per després calcular els errors estàndard de les mostres A i B, s'usarà ara que les desviacions estàndard de les mostres són properes a σ si n és gran de manera que els errors estàndard de les mostres A i B seran aproximadament

Com que els valors dels conjunts A i B corresponen a la mateixa variable aleatòria, es podrien considerar elements d'una mostra de n + m elements:

C = A ∪ B = {a₁, a₂, ..., a_n, b₁, b₂, ..., b_m}.

La mitjana d'aquesta mostra és

i l'error estàndard, atès que ara hi ha m + n valors, serà aproximadament

A continuació se cerquen expressions per calcular x_c i s_c en funció de x_a, x_b, s_a i s_b.

Per simplificar la forma de les expressions finals, es definiran els pesos w_b = s_b^–2 i w_b = s_b^–2.

La mitjana x_c es pot obtenir a partir de les mitjanes x_a i x_b de manera immediata amb l'expressió

Perquè surtin els errors s_a i s_b en lloc de n i m, s'inverteixen les definicions de l'error estàndard i es tendrà

Així l'expressió de la mitjana es pot escriure

Aquesta expressió per a x_c és una mitjana ponderada de x_a i x_b amb els pesos  

Amb els pesos, s'escriu

L'expressió que s'acaba d'obtenir per calcular x_c també serveix per calcular la incertesa sobre aquesta mitjana.

El valor de x_c és una combinació lineal de x_a i x_b i l'error propagat es calcula de manera immediata tenint en compte que els errors estàndard s_a i s_b donen la incertesa sobre x_a i x_b,

Considerant que x_c és una funció de x_a i x_b,

s'aplicarà l'expressió general per a la propagació de la incertesa per variables aleatòries independents

Les derivades donen

Usant la relació de les incerteses amb els pesos, queda

Per tant,

L'error estàndard s_c és

Perquè en aquesta expressió surtin els errors s_a i s_b en lloc de n i m, s'inverteixen les definicions de l'error estàndard. S'usarà com ja s'ha fet per calcular la mitjana

i s'escriurà

Aquesta relació dóna

i, usant les definicions dels pesos, es pot escriure:

Aquesta expressió coincideix amb l'obtinguda a l'apartat anterior.

Es considera en aquest apartat el cas de dos conjunts de valors de la variable aleatòria gaussiana X amb el mateix nombre n d'elements,

A = {a₁, a₂, ..., a_n},
B = {b₁, b₂, ..., b_n}.

Per a la mitjana s'obté de manera immediata

Aquest resultat equival a calcular directament la mitjana del conjunt

C = A ∪ B = {a₁, a₂, ..., a_n, b₁, b₂, ..., b_n}.

Pel que fa a l'error estàndard, es té

De manera que

Aquest resultat és el que correspon a l'error estàndard de 2n valors, que és el nombre d'elements d'A i B junts.

Els resultats obtinguts per als conjunts A i B es poden estendre a un nombre indefinit de conjunts de valors d'una variable aleatòria X de mitjana μ i desviació estàndard σ.

El pes de cada conjunt es calcula d'acord amb el seu error estàndard

w_i = s_i^-2.

La mitjana de x es pot calcular a partir de la mitjana de cada conjunt

i l'error estàndard del conjunt es pot calcular a partir dels errors estàndards de cada conjunt