Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.

Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.

Distribució de Poisson

Norma, valor esperat i variància

Introducció «

La funció de probabilitat de Poisson és

"ade_1.gif"

En aquest tema, es mostrarà la forma de la funció per a diversos valors de μ i després es demostrarà que la suma per a k des de zero fins a infinit val 1. Posteriorment, es calcularan el valor esperat E(k) i la variància σ2. Es trobarà que el valor esperat i la variància són ambdues iguals a μ,

"ade_2.gif"

En les demostracions presentades a continuació, s'usa el desenvolupament de la funció exponencial en sèrie de Taylor.

Representació gràfica «


Figura 1. Els punts verds representen els valors de la funció de probabilitat de Poisson Pμ. la línia groga és la gaussiana de mitjana μ i variància μ2 i es dibuixa per a comparar-les.

Normalització «

Es demostrarà que la funció de probabilitat de Poisson està normalitzada, de manera que

"ade_3.gif"

La demostració és quasi directa. El terme e–μ no depèn de k i es pot treure factor comú,

"ade_4.gif"

El sumatori destacat en color és el desenvolupament en sèrie de Taylor de la funció exponencial avaluada en el punt μ, així que directament resulta

"ade_5.gif"

Valor esperat (primer càlcul) «

El valor esperat de k és, per definició,

"ade_6.gif"

Per fer la suma s'usarà que el primer terme k = 0 no contribueix a la suma, que k! = k (k – 1)! per a k ≥ 1, i que la constant e–μ es pot treure del sumatori. S'escriurà

"ade_7.gif"

El canvi de l'índex de suma k per

m = k – 1

dóna

"ade_8.gif"

El sumatori destacat en color torna ser eμ (aquest pic l'índex mut és m) que es cancel·la amb l'exponencial que prové de la normalització i s'obté

"ade_9.gif"

Valor esperat (segon càlcul) «

Es parteix de la normalització de la funció de probabilitat de Poisson

"ade_10.gif"

Com que el sumatori és una constant (la unitat), la derivada és zero:

"ade_11.gif"

La derivada d'un sumatori és la suma de derivades,

"ade_12.gif"

El sumatori del terme de color verd val –1 perquè és el mateix que el de partida canviat de signe. El terme de color vermell, després d'extreure μ-1 fora del sumatori, dóna la definició del valor esperat de k. Per tant,

"ade_13.gif"

Aïllant, el valor esperat s'obté de nou

"ade_14.gif"

Variància «

El càlcul de la variància es presenta separat en tres passes.

Pas 1 «

La variància de la distribució de Poisson és, per definició,

"ade_15.gif"

Desenvolupant el quadrat es té

"ade_16.gif"

Separant en tres sumatoris, queda

"ade_17.gif"

Els resultats dels sumatoris requadrats s'han indicat a l'expressió anterior. El primer sumatori és la definició del valor esperat de k2, el segon val μ perquè és el valor esperat de k, i el tercer val 1 perquè és la condició de normalització. Fetes les multiplicacions per les constants fora dels requadres, els termes segon i tercer donen –μ2 de manera que la variància serà coneguda si es coneix E(k2):

"ade_18.gif"

Pas 2. Càlcul del valor esperat de k2 «

Per avaluar el valor esperat de k2 es derivarà la igualtat de la normalització

"ade_19.gif"

dues vegades respecte de μ. La primera derivada s'ha fet abans en el segon càlcul del valor esperat de k. El resultat de derivar la igualtat una vegada era

"ade_20.gif"

Aquesta igualtat es torna derivar respecte de μ i s'obté

"ade_21.gif"

Els sumands s'escriuran per separat. El terme destacat (k – 1) k  = k2k també se separarà en dos sumands. Així s'escriu

"ade_22.gif"

El resultat de cada sumatori s'ha indicat a l'expressió anterior, la qual dóna

"ade_23.gif"

Aïllant el valor esperat de k2 s'obté

"ade_24.gif"

Pas 3 «

Substituint el valor esperat de k2 dins l'expressió de la variància obtinguda al final del primer pas es troba

"ade_25.gif"

Aisí s'obté finalment la variància de la funció de probabilitat de Poisson,

"ade_26.gif"