Curs ADE: Propagacio2

Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.

Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.

Exercicis i problemes

Propagació d'errors / 2n^model

1. Funcions suma, resta, producte «

Dues variables amb unitats arbitràries valen a = 41.4 ± 1.2 i b = 110.0 ± 2.5. Determina el valor màxim i mínim de la variable r definida amb cada una de les operacions indicades a la taula, el valor mitjà dels extrems i la meitat de la distància entre els extrems. Finalment, presenta cada resultat amb el nombre de xifres significatives adient usant la meitat de l'interval entre r_min i r_màx com a incertesa. Compara cada incertesa amb la calculada usant les expressions obtingudes en el tema de la propagació d'errors amb operacions bàsiques.

Solució oculta » visible

Operació	$r_{\min}$	$r_{màx}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	Resultat
$a + b$	·	·	·	·	·
$a - b$	·	·	·	·	·
$a b$	·	·	·	·	·
$\frac{a}{b}$	·	·	·	·	·

Operació	$r_{\min}$	$r_{màx}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	Resultat
$a + b$	147.70	155.10	151.40	3.70	151 ± 4
$a - b$	-72.30	-64.90	-68.60	3.70	-69 ± 4
$a b$	4321.50	4792.50	4557.00	235.50	4500 ± 250
$\frac{a}{b}$	0.36	0.40	0.38	0.02	0.38 ± 0.02

2. Anàlisi de la incertesa amb funcions d'una variable «

Una variable a mesurada en unitats arbitràries val 114 ± 5. Determina els valors màxim i mínim de la variable r calculada amb les funcions indicades a la taula, el valor mitjà dels extrems i la meitat de la distància entre els extrems. Finalment, presenta el resultat en la forma r₀ ± δ_r amb el nombre de xifres significatives adient, on r₀ és el valor de la funció i

Compara δ_r amb (r_màx – r_min)/2.

Solució oculta » visible

Funció	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r \pm δ_{r}$
$\sqrt{a}$	·	·	·	·	·
$a^{2}$	·	·	·	·	·
$\ln (a)$	·	·	·	·	·
$\frac{5}{a}$	·	·	·	·	·
$a^{2} - 8 a$	·	·	·	·	·
$\frac{a^{3}}{127}$	·	·	·	·	·
$\ln (a + 38)$	·	·	·	·	·
$\frac{10}{a + 5}$	·	·	·	·	·
$\frac{917}{a^{2} - 9}$	·	·	·	·	·

Funció	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r \pm δ_{r}$
$\sqrt{a}$	10.440	10.909	10.675	0.234	10.75 ± 0.25
$a^{2}$	11881	14161	13021	1140	13000 ± 1100
$\ln (a)$	4.691	4.779	4.735	0.044	4.74 ± 0.04
$\frac{5}{a}$	0.0420	0.0459	0.0439	0.0019	0.044 ± 0.002
$a^{2} - 8 a$	11009	13209	12109	1100	12100 ± 1100
$\frac{a^{3}}{127}$	10197	13269	11733	1536	11700 ± 1500
$\ln (a + 38)$	4.990	5.056	5.023	0.033	5.02 ± 0.03
$\frac{10}{a + 5}$	0.0806	0.0877	0.0842	0.0035	0.084 ± 0.004
$\frac{917}{a^{2} - 9}$	0.0648	0.0772	0.0710	0.0062	0.071 ± 0.006

Es veu que δ_r dóna pràcticament el mateix que (r_màx – r_min)/2. La diferència és petita quan la funció és suau i l'interval d'incertesa petit.

3. Propagació de l'error amb funcions d'una variable «

Una variable a mesurada en unitats arbitràries val 40.9 ± 1.5. A la taula es donen els valors màxim i mínim de la variable r calculada amb les funcions indicades, el valor mitjà dels extrems i la meitat de la distància entre els extrems. Calcula la incertesa

i presenta el resultat en la forma r₀ ± δ_r amb el nombre de xifres significatives adient, on r₀ és el valor de la funció r(a). Compara δ_r amb (r_màx – r_min)/2.

Solució oculta » visible

Operació	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r \pm δ_{r}$
$a \ln (a^{3} + 2)$	434.2404	476.6384	455.4394	21.1990
$a \sqrt{a^{2} + 2}$	1553.3597	1798.7597	1676.0597	122.7000

Operació	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r \pm δ_{r}$
$a \ln (a^{3} + 2)$	434.2404	476.6384	455.4394	21.1990	460 ± 20
$a \sqrt{a^{2} + 2}$	1553.3597	1798.7597	1676.0597	122.7000	1670 ± 120

Es veu que δ_r dóna pràcticament el mateix que (r_màx – r_min)/2. La diferència és petita quan la funció és suau i l'interval d'incertesa petit.

4. Funcions trigonomètriques, argument en radians «

Determina la incertesa δ_r i el valor de la variable r calculada amb les funcions trigonomètriques indicades a la taula amb a = 0.679 ± 0.009.

Solució oculta » visible

Operació	$r$	$δ_{r}$	$r \pm δ_{r}$
$\cos (a)$	·	·	·
$\sin (1.1 a)$	·	·	·
$\sin^{2} (a)$	·	·	·
$\sin (a) \cos (a)$	·	·	·
$2 \tan (a)$	·	·	·

Operació	$r$	$δ_{r}$	$r \pm δ_{r}$
$\cos (a)$	0.7782	0.00565214	0.778 ± 0.006
$\sin (1.1 a)$	0.6794	0.0072646	0.679 ± 0.007
$\sin^{2} (a)$	0.3944	0.008797	0.394 ± 0.009
$\sin (a) \cos (a)$	0.4887	0.00190075	0.489 ± 0.002
$2 \tan (a)$	1.6140	0.0297227	1.61 ± 0.03

5. Funcions trigonomètriques, argument en graus «

Per a l'angle expressat en graus a = 35 ± 1, determina la incertesa δ_r i el valor de la variable r calculada amb les funcions trigonomètriques.

Solució oculta » visible

Operació	$r$	$δ_{r}$	$r \pm δ_{r}$
$\cos (a °)$	·	·	·
$\sin (a °)$	·	·	·

Operació	$r$	$δ_{r}$	$r \pm δ_{r}$
$\cos (a °)$	0.8192	$(π/180) \sin (35 °)$	0.82 ± 0.01
$\sin (a °)$	0.5736	$(π/180) \cos (35 °)$	0.574 ± 0.014

S'ha de tenir present que una variable es pot donar en graus, però s'ha de passar a radians per calcular la derivada. Per tant, s'ha d'operar com si la variable tingues un factor constant π / 180 multiplicant. Per exemple, la funció

f(x) = cos(x º) = cos( π x / 180),

té per derivada

f ' (x) = –(π / 180) cos( π x / 180).

6. Error relatiu «

Una constant física S es calcula amb l’expressió S = β x^7/3 on β és una constant numèrica. Amb quina incertesa relativa es determinarà la constant S si x s’ha mesurat amb la incertesa relativa ε_x = 2.1 %?

Solució »