Curs ADE: Propagacio1

Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.

Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.

Exercicis i problemes

Propagació d'errors / 1r^model

1. Funcions suma, resta, producte «

Dues variables amb unitats arbitràries valen a = 87.5 ± 2.5 i b = 25.1 ± 0.6. Determina el valor màxim i mínim de la variable r definida amb cada una de les operacions indicades a la taula, el valor mitjà dels extrems i la meitat de la distància entre els extrems. Finalment, presenta cada resultat amb el nombre de xifres significatives adient usant la meitat de l'interval entre r_min i r_màx com a incertesa. Compara cada incertesa amb la calculada usant les expressions obtingudes en el tema de la propagació d'errors amb operacions bàsiques.

Solució oculta » visible

Operació	$r_{\min}$	$r_{màx}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	Resultat
$a + b$	·	·	·	·	·
$a - b$	·	·	·	·	·
$a b$	·	·	·	·	·
$\frac{a}{b}$	·	·	·	·	·

Operació	$r_{\min}$	$r_{màx}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	Resultat
$a + b$	109.50	115.70	112.60	3.10	113 ± 3
$a - b$	59.30	65.50	62.40	3.10	62 ± 3
$a b$	2082.50	2313.00	2197.75	115.25	2200 ± 120
$\frac{a}{b}$	3.31	3.67	3.49	0.18	3.49 ± 0.18

2. Anàlisi de la incertesa amb funcions d'una variable «

Una variable a mesurada en unitats arbitràries val 35.6 ± 1.4. Determina els valors màxim i mínim de la variable r calculada amb les funcions indicades a la taula, el valor mitjà dels extrems i la meitat de la distància entre els extrems. Finalment, presenta el resultat en la forma r₀ ± δ_r amb el nombre de xifres significatives adient, on r₀ és el valor de la funció i

Compara δ_r amb (r_màx – r_min)/2.

Solució oculta » visible

Funció	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r \pm δ_{r}$
$\sqrt{a}$	·	·	·	·	·
$a^{2}$	·	·	·	·	·
$\ln (a)$	·	·	·	·	·
$\frac{5}{a}$	·	·	·	·	·
$a^{2} - 8 a$	·	·	·	·	·
$\frac{a^{3}}{127}$	·	·	·	·	·
$\ln (a + 38)$	·	·	·	·	·
$\frac{10}{a + 5}$	·	·	·	·	·
$\frac{917}{a^{2} - 9}$	·	·	·	·	·

Funció	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r \pm δ_{r}$
$\sqrt{a}$	5.848	6.083	5.965	0.117	5.97 ± 0.12
$a^{2}$	1170	1369	1269	100	1300 ± 100
$\ln (a)$	3.532	3.611	3.572	0.039	3.57 ± 0.04
$\frac{5}{a}$	0.1351	0.1462	0.1407	0.0055	0.140 ± 0.006
$a^{2} - 8 a$	896	1073	985	88	980 ± 90
$\frac{a^{3}}{127}$	315	399	357	42	360 ± 40
$\ln (a + 38)$	4.279	4.317	4.298	0.019	4.30 ± 0.02
$\frac{10}{a + 5}$	0.2381	0.2551	0.2466	0.0085	0.246 ± 0.008
$\frac{917}{a^{2} - 9}$	0.6743	0.7901	0.7322	0.0579	0.73 ± 0.06

Es veu que δ_r dóna pràcticament el mateix que (r_màx – r_min)/2. La diferència és petita quan la funció és suau i l'interval d'incertesa petit.

3. Propagació de l'error amb funcions d'una variable «

Una variable a mesurada en unitats arbitràries val 95 ± 3. A la taula es donen els valors màxim i mínim de la variable r calculada amb les funcions indicades, el valor mitjà dels extrems i la meitat de la distància entre els extrems. Calcula la incertesa

i presenta el resultat en la forma r₀ ± δ_r amb el nombre de xifres significatives adient, on r₀ és el valor de la funció r(a). Compara δ_r amb (r_màx – r_min)/2.

Solució oculta » visible

Operació	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r \pm δ_{r}$
$a \ln (a^{3} + 2)$	1248.0139	1347.9806	1297.9973	49.9834
$a \sqrt{a^{2} + 2}$	8464.9999	9604.9999	9034.9999	570.0000

Operació	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r \pm δ_{r}$
$a \ln (a^{3} + 2)$	1248.0139	1347.9806	1297.9973	49.9834	1300 ± 50
$a \sqrt{a^{2} + 2}$	8464.9999	9604.9999	9034.9999	570.0000	9000 ± 600

Es veu que δ_r dóna pràcticament el mateix que (r_màx – r_min)/2. La diferència és petita quan la funció és suau i l'interval d'incertesa petit.

4. Funcions trigonomètriques, argument en radians «

Determina la incertesa δ_r i el valor de la variable r calculada amb les funcions trigonomètriques indicades a la taula amb a = 0.78 ± 0.02.

Solució oculta » visible

Operació	$r$	$δ_{r}$	$r \pm δ_{r}$
$\cos (a)$	·	·	·
$\sin (1.1 a)$	·	·	·
$\sin^{2} (a)$	·	·	·
$\sin (a) \cos (a)$	·	·	·
$2 \tan (a)$	·	·	·

Operació	$r$	$δ_{r}$	$r \pm δ_{r}$
$\cos (a)$	0.7109	0.0140656	0.711 ± 0.014
$\sin (1.1 a)$	0.7565	0.0143869	0.757 ± 0.014
$\sin^{2} (a)$	0.4946	0.0199988	0.49 ± 0.02
$\sin (a) \cos (a)$	0.5000	0.000215922	0.5000 ± 0.0002
$2 \tan (a)$	1.9785	0.0791455	1.98 ± 0.08

5. Funcions trigonomètriques, argument en graus «

Per a l'angle expressat en graus a = 39.7 ± 0.8, determina la incertesa δ_r i el valor de la variable r calculada amb les funcions trigonomètriques.

Solució oculta » visible

Operació	$r$	$δ_{r}$	$r \pm δ_{r}$
$\cos (a °)$	·	·	·
$\sin (a °)$	·	·	·

Operació	$r$	$δ_{r}$	$r \pm δ_{r}$
$\cos (a °)$	0.7694	0.00891888	0.769 ± 0.009
$\sin (a °)$	0.6388	0.0107428	0.639 ± 0.011

S'ha de tenir present que una variable es pot donar en graus, però s'ha de passar a radians per calcular la derivada. Per tant, s'ha d'operar com si la variable tingues un factor constant π / 180 multiplicant. Per exemple, la funció

f(x) = cos(x º) = cos( π x / 180),

té per derivada

f ' (x) = –(π / 180) cos( π x / 180).

6. Error relatiu «

Una constant física J es calcula amb l’expressió J = β x^2/3 on β és una constant numèrica. Amb quina incertesa relativa es determinarà la constant J si x s’ha mesurat amb la incertesa relativa ε_x = 1.2 %?

Solució »