Curs ADE: GaussT3

Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.

Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.

Exercicis i problemes

Valors d'una gaussiana i probabilitat / 3r^model

1. Integral de la gaussiana canònica «

Usa la taula de la integral de la funció gaussiana per determinar la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 0 i variància 1 s'obtengui un valor z tal com s'indica a la primera columna.

Solució oculta » visible

Cas	Probabilitat
z < 0.82	·
z < 0.68	·
z < -0.67	·
z < -0.35	·
z > 0.82	·
z > -0.67	·
-0.35 < z < 0.82	·

2. Integral d'una gaussiana «

Usa la taula de la integral de la funció gaussiana per determinar la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 8.62 i desviació estàndard 3.14 s'obtengui un valor z tal com s'indica a la primera columna.

Solució oculta » visible

Cas	Probabilitat
z < 10.16	·
z < 7.62	·
z > 10.16	·
7.62 < z < 10.16	·

3. Càlcul de valors per interpolació «

Solució »

4. Error en el càlcul d'interpolació «

Usa taula de la integral de la funció gaussiana per determinar la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 0 i variància 1 s'obtengui un valor més petit que 0.1255. Com que aquest valor no apareix a la taula, s'ha de fer una interpolació. Per determinar la incertesa sobre la probabilitat calculada suposa que la única incertesa és la dels valors de la taula i val ±0.000005.

Solució »

5. Càlcul de probabilitats «

Calcula la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 2.57 i desviació estàndard 7.35 s'obtengui un valor x∈[4.6618,4.6706].

Solució »

6. Càlcul de probabilitats «

Usa el següent fragment de la taula de la integral de la funció gaussiana

a\|b	0.	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.5	0.69146	0.69497	0.69847	0.70194	0.70540	0.70884	0.71226	0.71566	0.71904	0.72240
0.6	0.72575	0.72907	0.73237	0.73565	0.73891	0.74215	0.74537	0.74857	0.75175	0.75490
0.7	0.75804	0.76115	0.76424	0.76730	0.77035	0.77337	0.77637	0.77935	0.78230	0.78524

per determinar la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 4.13 i desviació estàndard 1.19 s'obtengui un valor z₀ tal com s'indica a la primera columna. Dóna la probabilitat en tant per cent i amb un decimal.

Solució oculta » visible

Cas

z_{0} < 4.7726

z_{0} < 4.9511

z_{0} > 4.7726

4.7726 < z_{0} < 4.9511

Cas	Equivalent	Probabiliat (%)
$z_{0} < 4.7726$	$x_{0} < 0.540$	70.54
$z_{0} < 4.9511$	$x_{0} < 0.690$	75.49
$z_{0} > 4.7726$	$x_{0} > 0.540$	29.46
$4.7726 < z_{0} < 4.9511$	$0.540 < x_{0} < 0.690$	4.95

Per trobar les dues primeres probabilitats, s'ha de fer el canvi x₀ = (z₀ – μ)/σ. Els valors x₀ es poden consultar a la taula. La tercera probabilitat és la complementària de la primera. La quarta probabilitat és la resta de les probabilitats 2 menys 1.

7. Problema invers «

Una variable aleatòria gaussiana té mitjana μ = 7 i desviació estàndard σ = 4. Què ha de valer a perquè la probabilitat que el valor de la variable estigui dins l'interval:

a) [7, 7 + a] valgui 0.27?

b) [7 – a, 7 + a] valgui 0.54?

c) [7 – a, 7 + a] valgui 0.20?

Fes un esquema de la gaussiana i marca l'àrea que representa les probabilitats donades.

Solució »

8. Probabilitats que s'han de saber «

A partir de 9 mesures has determinat que la mitjana i la desviació estàndard de l’energia d’un tipus de partícules idèntiques és E = 7.86 ± 0.15 J. Contesta les preguntes següents justificant les respostes:

a) Què val l’error estàndard?

b) Quina és la probabilitat que es faci una altra mesura i s’obtengui un valor dins l’interval [7.71, 8.01]?

c) És possible que amb el mateix dispositiu experimental es faci una mesura més i s’obtengui que l’energia és més gran que 8.01? Si la teva resposta és no, explica el motiu. Si és si, calcula quina és la probabilitat que això passi.

Solució »

9. Límit de la distribució binomial «

Trobam escrit en un llibre que “el valor de B_n,p(590) per a n = 1182 i p = 0.48 és 0.00974”. Segurament la teva calculadora no te permetrà comprovar-ho aplicant la definició de la funció de distribució binomial.
a) Quin càlcul pots fer amb la calculadora per comprovar si és o no possible aquest valor?
b) És el valor possible?

Solució »

10. Límit de la distribució binomial «

La probabilitat d'èxit d'un succés és 0.12 i la probabilitat de que almenys 197 successos de 1653 siguin d'èxit és 0.55225. Atès que la calculadora no te permet comprovar-ho aplicant la distribució binomial, com pots fer un càlcul aproximat per comprovar-ho? Què dóna el càlcul?

Solució »

11. Probabilitat que una dada sigui dolenta «

Repeteix l'exercici anterior per aquest altre conjunt de valors.

8.004

8.001

7.952

7.956

8.002

7.952

8.009

7.965

Solució »

12. Probabilitat que una dada sigui dolenta «

El conjunt de valors de taula següent corresponen als resultats de mesures d'una variable x amb presència d'errors aleatoris. Calcula la mitjana, l'error estàndard i la probabilitat que una mesura de la variable doni un valor a una distància de la mitjana igual o superior a la que està la dada més llunyana de la taula. Llavors, aplica el criteri de Chauvenet a aquesta dada.

5.85

7.45

6.84

7.02

6.72

6.70

7.39

7.10

Solució »

Cas	Probabilitat
z < 0.82	0.79389
z < 0.68	0.75175
z < -0.67	0.25143
z < -0.35	0.36317
z > 0.82	0.20611
z > -0.67	0.74857
-0.35 < z < 0.82	0.43072

Cas	Probabilitat
z < 10.16	0.68793
z < 7.62	0.37448
z > 10.16	0.31207
7.62 < z < 10.16	0.31345