Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.
Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.
Exercicis i problemes
Valors d'una gaussiana i probabilitat / 1r model
1. Expressió de la gaussiana i valors «
Escriu la funció gaussiana G1,1(x) i determina amb la calculadora el valor de la funció per a x igual a cada un dels valors indicats a la primera columna de la taula. Després comprova el resultat amb un full de càlcul amb la instrucció DISTR.NORM(x; μ; σ; 0) (el 0 final és necessari; la funció dóna el valor acumulat si es posa 1).
Solució oculta » visible
0.25 |
0.50 |
0.75 |
1.00 |
1.25 |
1.50 |
2. Comparació de tres gaussianes «
Dibuixa esquemàticament les gaussianes de mitjana 0 i variances 0.25, 1 i 4.
Solució »
3. Integral de la gaussiana canònica «
Usa la taula de la integral de la funció gaussiana per determinar la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 0 i variància 1 s'obtengui un valor z tal com s'indica a la primera columna.
Solució oculta » visible
Cas | Probabilitat |
z < 0.58 | · |
z < 0.79 | · |
z < -0.37 | · |
z < -0.32 | · |
z > 0.58 | · |
z > -0.37 | · |
-0.32 < z < 0.58 | · |
4. Integral d'una gaussiana «
Usa la taula de la integral de la funció gaussiana per determinar la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 6.14 i desviació estàndard 4.66 s'obtengui un valor z tal com s'indica a la primera columna.
Solució oculta » visible
Cas | Probabilitat |
z < 8.56 | · |
z < 5.53 | · |
z > 8.56 | · |
5.53 < z < 8.56 | · |
5. Càlcul de valors per interpolació «
Usa la taula de la integral de la funció gaussiana per determinar la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 0 i variància 1 s'obtengui un valor x ≤ 0.4963. Com que aquest valor no apareix a la taula, s'ha de fer una interpolació.
Solució »
6. Error en el càlcul d'interpolació «
Usa taula de la integral de la funció gaussiana per determinar la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 0 i variància 1 s'obtengui un valor més petit que 0.3650. Com que aquest valor no apareix a la taula, s'ha de fer una interpolació. Per determinar la incertesa sobre la probabilitat calculada suposa que la única incertesa és la dels valors de la taula i val ±0.000005.
Solució »
7. Càlcul de probabilitats «
Calcula la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 3.86 i desviació estàndard 6.25 s'obtengui un valor x∈[5.6538,5.6706].
Solució »
8. Càlcul de probabilitats
«
Usa el següent fragment de la taula de la integral de la funció gaussiana
a|b | 0. | 0.01 | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 0.09 |
0.3 | 0.61791 | 0.62172 | 0.62552 | 0.62930 | 0.63307 | 0.63683 | 0.64058 | 0.64431 | 0.64803 | 0.65173 |
0.4 | 0.65542 | 0.65910 | 0.66276 | 0.66640 | 0.67003 | 0.67364 | 0.67724 | 0.68082 | 0.68439 | 0.68793 |
0.5 | 0.69146 | 0.69497 | 0.69847 | 0.70194 | 0.70540 | 0.70884 | 0.71226 | 0.71566 | 0.71904 | 0.72240 |
per determinar la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 2.85 i desviació estàndard 6.06 s'obtengui un valor z0 tal com s'indica a la primera columna. Dóna la probabilitat en tant per cent i amb un decimal.
Solució oculta » visible
Cas |
9. Problema invers
«
Una variable aleatòria gaussiana té mitjana μ = 9 i desviació estàndard σ = 5. Què ha de valer a perquè la probabilitat que el valor de la variable estigui dins l'interval:
a) [9, 9 + a] valgui 0.33?
b) [9 – a, 9 + a] valgui 0.66?
c) [9 – a, 9 + a] valgui 0.30?
Fes tres esquemes de la gaussiana amb les àrees que representen les probabilitats donades.
Solució »
10. Probabilitats que s'han de saber
«
A partir de 9 mesures has determinat que la mitjana i la desviació estàndard de l’energia d’un tipus de partícules idèntiques és E = 7.07 ± 0.15 J. Contesta les preguntes següents justificant les respostes:
a) Què val l’error estàndard?
b) Quina és la probabilitat que es faci una altra mesura i s’obtengui un valor dins l’interval [6.92, 7.22]?
c) És possible que amb el mateix dispositiu experimental es faci una mesura més i s’obtengui que l’energia és més gran que 7.22? Si la teva resposta és no, explica el motiu. Si és si, calcula quina és la probabilitat que això passi.
Solució »
11. Límit de la distribució binomial
«
Trobam escrit en un llibre que “el valor de Bn,p(468) per a n = 1112 i p = 0.39 és 0.00457”. Segurament la teva calculadora no te permetrà comprovar-ho aplicant la definició de la funció de distribució binomial.
a) Quin càlcul pots fer amb la calculadora per comprovar si és o no possible aquest valor?
b) És el valor possible?
Solució »
12. Límit de la distribució binomial
«
La probabilitat d'èxit d'un succés és 0.20 i la probabilitat de que almenys 364 successos de 1839 siguin d'èxit és 0.59685. Atès que la calculadora no te permet comprovar-ho aplicant la distribució binomial, com pots fer un càlcul aproximat per comprovar-ho? Què dóna el càlcul?
Solució »
13. Probabiitat que una mesura sigui dolenta
«
Es mesura un interval de temps amb error aleatori. El resultat és tm = 4.85 ± 0.07 s. Considera que 0.07 és la desviació estàndard. Quina és la probabilitat que el temps mesurat realment valgui més que t2 = 4.98 s?
Solució »
14. Probabiitat que una mesura sigui dolenta
«
El conjunt de valors de taula següent corresponen als resultats de mesures d'una variable x amb presència d'errors aleatoris. Calcula la mitjana, l'error estàndard i la probabilitat que una mesura de la variable doni un valor a una distància de la mitjana igual o superior a la que està la dada més llunyana de la taula. Llavors, aplica el criteri de Chauvenet a aquesta dada.
8.29 | 8.32 | 8.17 | 8.45 | 8.27 | 7.78 | 8.32 | 8.12 |
Solució »
15. Probabiitat que una mesura sigui dolenta
«
Repeteix l'exercici anterior amb aquest altre conjunt de valors.
7.030 | 6.964 | 7.028 | 6.942 | 7.037 | 6.938 | 6.943 | 7.042 |
Solució »