Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.

Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.

Exercicis i problemes

Valors d'una gaussiana i probabilitat / 1r model

1. Expressió de la gaussiana i valors «

Escriu la funció gaussiana G1,1(x) i determina amb la calculadora el valor de la funció per a x igual a cada un dels valors indicats a la primera columna de la taula. Després comprova el resultat amb un full de càlcul amb la instrucció DISTR.NORM(x; μ; σ; 0) (el 0 final és necessari; la funció dóna el valor acumulat si es posa 1).

Solució oculta » visible

x
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50

2. Comparació de tres gaussianes «

Dibuixa esquemàticament les gaussianes de mitjana 0 i variances 0.25, 1 i 4.

Solució »

3. Integral de la gaussiana canònica «

Usa la taula de la integral de la funció gaussiana per determinar la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 0 i variància 1 s'obtengui un valor z tal com s'indica a la primera columna.

Solució oculta » visible

CasProbabilitat
z <  0.58 ·
z <  0.79 ·
z < -0.37 ·
z < -0.32 ·
z >  0.58 ·
z > -0.37 ·
-0.32 < z <  0.58 ·

4. Integral d'una gaussiana «

Usa la taula de la integral de la funció gaussiana per determinar la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 6.14 i desviació estàndard 4.66 s'obtengui un valor z tal com s'indica a la primera columna.

Solució oculta » visible

CasProbabilitat
z <  8.56 ·
z <  5.53 ·
z >  8.56 ·
  5.53 < z <  8.56 ·

5. Càlcul de valors per interpolació «

Usa la taula de la integral de la funció gaussiana per determinar la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 0 i variància 1 s'obtengui un valor x ≤ 0.4963. Com que aquest valor no apareix a la taula, s'ha de fer una interpolació.

Solució »

6. Error en el càlcul d'interpolació «

Usa taula de la integral de la funció gaussiana per determinar la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 0 i variància 1 s'obtengui un valor més petit que 0.3650. Com que aquest valor no apareix a la taula, s'ha de fer una interpolació. Per determinar la incertesa sobre la probabilitat calculada suposa que la única incertesa és la dels valors de la taula i val ±0.000005.

Solució »

7. Càlcul de probabilitats «

Calcula la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 3.86 i desviació estàndard 6.25 s'obtengui un valor x∈[5.6538,5.6706].

Solució »

8. Càlcul de probabilitats «

Usa el següent fragment de la taula de la integral de la funció gaussiana

a|b0.0.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.30.617910.621720.625520.629300.633070.636830.640580.644310.648030.65173
0.40.655420.659100.662760.666400.670030.673640.677240.680820.684390.68793
0.50.691460.694970.698470.701940.705400.708840.712260.715660.719040.72240

per determinar la probabilitat que en un succés aleatori amb probabilitat gaussiana de mitjana 2.85 i desviació estàndard 6.06 s'obtengui un valor z0 tal com s'indica a la primera columna. Dóna la probabilitat en tant per cent i amb un decimal.

Solució oculta » visible

Cas
z0<4.8498
z0<5.4558
z0>4.8498
4.8498<z0<5.4558

9. Problema invers «

Una variable aleatòria gaussiana té mitjana μ = 9 i desviació estàndard σ = 5. Què ha de valer a perquè la probabilitat que el valor de la variable estigui dins l'interval:

a) [9, 9 + a] valgui 0.33?

b) [9 – a, 9 + a] valgui 0.66?

c) [9 – a, 9 + a] valgui 0.30?

Fes tres esquemes de la gaussiana amb les àrees que representen les probabilitats donades.

Solució »

10. Probabilitats que s'han de saber «

A partir de 9 mesures has determinat que la mitjana i la desviació estàndard de l’energia d’un tipus de partícules idèntiques és E = 7.07 ± 0.15 J. Contesta les preguntes següents justificant les respostes:

a) Què val l’error estàndard?

b) Quina és la probabilitat que es faci una altra mesura i s’obtengui un valor dins l’interval [6.92, 7.22]?

c) És possible que amb el mateix dispositiu experimental es faci una mesura més i s’obtengui que l’energia és més gran que 7.22? Si la teva resposta és no, explica el motiu. Si és si, calcula quina és la probabilitat que això passi.

Solució »

11. Límit de la distribució binomial «

Trobam escrit en un llibre que “el valor de Bn,p(468) per a n = 1112 i p = 0.39 és 0.00457”. Segurament la teva calculadora no te permetrà comprovar-ho aplicant la definició de la funció de distribució binomial.
a) Quin càlcul pots fer amb la calculadora per comprovar si és o no possible aquest valor?
b) És el valor possible?

Solució »

12. Límit de la distribució binomial «

La probabilitat d'èxit d'un succés és 0.20 i la probabilitat de que almenys 364 successos de 1839 siguin d'èxit és 0.59685. Atès que la calculadora no te permet comprovar-ho aplicant la distribució binomial, com pots fer un càlcul aproximat per comprovar-ho?  Què dóna el càlcul?

Solució »

13. Probabiitat que una mesura sigui dolenta «

Es mesura un interval de temps amb error aleatori. El resultat és tm = 4.85 ± 0.07 s. Considera que 0.07 és la desviació estàndard. Quina és la probabilitat que el temps mesurat realment valgui més que t2 = 4.98 s?

Solució »

14. Probabiitat que una mesura sigui dolenta «

El conjunt de valors de taula següent corresponen als resultats de mesures d'una variable x amb presència d'errors aleatoris. Calcula la mitjana, l'error estàndard i la probabilitat que una mesura de la variable doni un valor a una distància de la mitjana igual o superior a la que està la dada més llunyana de la taula. Llavors, aplica el criteri de Chauvenet a aquesta dada.

8.298.328.178.458.277.788.328.12

Solució »

15. Probabiitat que una mesura sigui dolenta «

Repeteix l'exercici anterior amb aquest altre conjunt de valors.

7.0306.9647.0286.9427.0376.9386.9437.042

Solució »