a) La mitjana dels valors {22, 6, 8} és 12. Les desviacions valen {10, -6, -4}. És immediat veure que la suma de desviacions val zero.

b) El sumatori de les x_i és igual a n vegades la mitjana m. Això es pot mostrar escrivint:

Aquest resultat s'usarà a continuació. El sumatori de les d_i és igual al sumatori de les x_i, que val nm, menys el sumatori de m, que és n vegades m. Per tant, el resultat és zero:

a) La integral d'una funció densitat de probabilitat normalitzada val 1. En aquest cas, la integral dóna l'àrea del triangle de base 4.0 i altura 2.0. Per tant, la funció s'ha de dividir per l'àrea del triangle o multiplicar per l'invers que és 0.250.

b) El valor esperat de la variable es calcula amb l'expressió

i el resultat és

a) Sigui A l'àrea de la làmina, M la massa, ρ = M/A la densitat superficial i β el pendent de la hipotenusa de la làmina triangular.

La làmina triangular es pot imaginar formada per trapezis com el destacat a la figura.

L'àrea del trapezi destacat és

Per tant, la massa del trapezi és a(x)ρ. Si l'amplada Δx es fa infinitesimal, Δx → dx, Δx² → 0 i la massa dels trapezis tendirà a

Usant aquesta expressió i la definició de la densitat dins la integral que dóna el centre de masses s'obté

una expressió igual que la del càlcul de la mitjana de X.

b) La mitjana de X és 2.83.

A la figura adjunta s'ha cercat el centre de masses amb les rectes mitjanes i es comprova que el centre de masses té l'abscissa igual a la mitjana de X.

La integral de la funció de distribució de probabilitat és 132.0. Les probabilitats dels apartats a i c són iguals a les àrees de les zones vermelles en els dos gràfics adjunts dividides per 132.0. La probabilitat de l'apartat b és 0.5 menys la probabilitat de l'apartat a i la probabilitat de l'apartat d és complementària a la de l'apartat c.

    a) Pr(x > 82.7) = 0.377
    b) Pr(80.0 < x < 82.7) = 0.123
    c) Pr(x < 90.0) = 0.929
    d) Pr(x > 90.0) = 0.071

La integral de la funció de distribució de probabilitat és 36.0. Les probabilitats dels apartats a i c són iguals a les àrees de les zones vermelles en els dos gràfics adjunts dividides per 36.0. La probabilitat de l'apartat b és 0.5 menys la probabilitat de l'apartat a i la probabilitat de l'apartat d és complementària a la de l'apartat c.

    a) Pr(x > 54.2) = 0.327
    b) Pr(53.0 < x < 54.2) = 0.173
    c) Pr(x < 57.4) = 0.902
    d) Pr(x > 57.4) = 0.098

a) Com que

perquè la funció densitat de probabilitat estigui normalitzada s'ha de tenir

b) La forma de la funció és la d'una exponencial decreixent. Marcant els punts per a x = 0 i els primers múltiples de λ es pot fer un gràfic de la funció P(x).

c) El valor esperat de x és

La integral es resol fent una integració per parts. El resultat és

d) La variància poblacional és

La integral es resol desenvolupant el quadrat. S'escriuen tres integrals, una amb λ², una amb –2λx i la darrera a x². Les dues primeres són com les que s'han resolt en els apartats a i c. La darrera es resol fent dues integracions per parts. La desviació estàndard és

e) D'acord amb els resultats anteriors, l'interval serà [0, 2λ]. Per tant,

i la solució és

a) A = 72.0.

b) Sigui f(x) una funció tal que f(–x) = f(x) (funció parell). La integral de la funció en el domini [–L, L] dóna

El canvi de variable s = –x a la integral requadrada, dóna

Però f(–s) = f(s) i el signe menys de (–ds) es pot eliminar intercanviant els límits d'integració. Aixi es pot escriure

La variable d'integració es pot canviar de s a x i així es troba

Aquesta relació és vàlida per a quaselvol funció parell. La funció x² P(x) és parell, per tant la variància es pot calcular amb el doble de la integral de 0 a 12.

a) σ  = 4.90.

a) A = 0.25.

b) La forma de la funció F(x) es mostra en el gràfic següent.

c) La integració que s'ha de fer és

però dóna 0 perquè la integració de –π a 0 dóna el mateix que de 0 a π canviat de signe:

d) Variància = π² – 8 = 1.87.