Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.
Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.
Apèndix
Integració per parts
Introducció «
La integració per parts és un mètode aplicat quan la integral es pot posar en la forma
on la funció g(x) es fàcil de determinar a partir de la derivada.
El mètode s'aplica usant la fórmula
i és útil quan la integral de la dreta és pot realitzar més fàcilment que la original.
Demostració de la fórmula de la integració per parts «
La derivada del producte de dues funcions és
Aïllant el darrer terme es troba
La integració d'aquestes funcions en un interval (a, b) dóna
La primera integral definida de la dreta, inclosa dins un requadre, és
Així, s'arriba al resultat
Exemple: Integral de la forma xn exp(-a x) amb a > 0
«
La integració per parts en alguns casos s'ha de realitzar repetidament fins que la integral que queda a la dreta es pot resoldre directament. Aquest és el cas de la integral que es considera com exemple quan n > 1.
Integral de x exp(-a x)
«
Es calcularà la integral
usant la fórmula de la integració per parts.
S'identifica
Trobar g és fàcil perquè
Al fer la integració per parts
es troba
Escriure el resultat dels dos termes emmarcats és immediat. El primer terme dóna
El segon terme és la integral d'una exponencial i dóna
Sumant els dos termes s'obté finalment
La integral impròpia amb z→ ∞ val
Integral de x2 exp(-a x)
«
Es calcularà la integral següent usant la fórmula de la integració per parts:
S'identifica
La funció g s'ha determinat a l'exemple anterior quan, precisament, s'ha integrat g':
Al fer la integració per parts
es troba
La integral que queda per fer és la d'una exponencial senzilla. S'obté al final
La integral impròpia amb z→ ∞ val
Integral impròpia de xn exp(-a x)
«
Les integrals impròpies dels dos exemples anteriors, són casos particulars de
Les integrals definides de les funcions xn exp(–a x), amb n sencer, es resolen repetint la integració per parts.
