Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.
Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.
covariància i correlació lineal
La covariància
Introducció «
Sigui v una variable que s'ha de calcular a partir de dues altres variables x i y,
v = v(x, y),
(un exemple és l'energia cinètica d'un objecte calculada a partir de la massa i la velocitat).
Si es fan n mesures de les variables x i y, es podran calcular n valors de v. Les dues preguntes que es contesten aquí són quina relació hi ha entre
1) els valors mitjans de x, y i v?
2) les variàncies de x, y i v?
La resposta a la primera pregunta s'usa per respondre la segona i en aquesta segona resposta apareix el sumatori que es denomina covariància de les variables x i y
Relació entre els valors mitjans «
Siguin {xi, yi}, i = 1..n, les parelles de valors obtingudes en les mesures. Per a cada parella es pot calcular un valor vi = v(xi, yi). Les mitjanes seran
Si la variància de les variables x i y és petita, els valors xi i yi estaran prop dels seus valors mitjans, de manera que la funció v es pot avaluar usant la seva sèrie de Taylor a primer ordre en el punt
P = {x, y}.
L'expressió de la sèrie truncada és
amb les constants
L'expressió aplicada a cada un dels valors vi dóna
Usant aquests valors aproximats per calcular la mitjana de v es tendrà
El sumatori es pot separar en tres
El terme del requadre blau és fàcil d'avaluar perquè se suma n vegades un terme constant
Els sumatoris dels requadres verd i verd vermell donen 0. El càlcul per mostrar-ho és el mateix en els dos sumatoris. S'avaluarà el terme del requadre verd escrivint en gris els termes que no són importants en les operacions:
El sumatori en el requadre groc se separa en dos, els quals s'escriuen a continuació en vermell i verd per identificar el resultat de cada un,
Així s'ha obtingut que el sumatori del terme del requadre verd dóna 0. El requadre vermell és anàleg per a la variable y. Per tant
En conseqüència, la relació entre els tres valors mitjans és
Relació entre les variàncies. Definició de covariància
«
La variància de la mostra de cada una de les variables és
Si la variància de les variables x i y és petita, els valors xi i yi estaran prop dels seus valors mitjans, de manera que la funció v es pot avaluar usant la seva sèrie de Taylor a primer ordre en el punt mitjà. Usarem com a l'apartat anterior
La variància sv està donada per
Pel resultat de l'apartat anterior, els termes de color vermell s'anul·len. Elevant al quadrat la suma dels dos termes que queden, separant sumatoris i extraient els factors constants, resulta
En els dos primers termes surten les variàncies sx i sy, llavors
Definint la covariància
la variància de s es pot escriure, recuperant les definicions d'α i β,
La covariància de dues variables pot ser negativa perquè el tercer terme de la variància de v pot ser positiu o negatiu segons els signes de la covariància i de les derivades.
Cas de variables independents
«
La covariància de dues variables aleatòries independents tendeix a zero per a un nombre elevat de mesures. El motiu és que quan es resta la mitjana a cada xi queda un nombre de valors negatius semblant al nombre de valors positius. El mateix passa amb l'altra variable. Així, quan es multiplica
el signe del primer parèntesis serà independent del signe del segon, i quan el producte doni un determinat valor positiu és probable que també surti negatiu i es cancel·lin al sumar-se.
Cada parella de valors {xi, yi} pot representar-se amb un punt d'un pla. La Fig. 1 mostra sèries de 50 mesures d'unes variables amb punts. En uns casos les variables tenen correlació i en altres no. Els punts sense correlació queden distribuïts aleatòriament al voltant del punt mitjà.
Figura 1. Representacions gràfiques de 5 exemples de 50 parelles de valors sense correlació i 5 amb correlació. Les coordenades del punt vermell són les mitjanes de x i y. Dins la figura s'indiquen les variàncies de x i y i la covariància. Explicació en el text.
Exemple d'un càlcul d'errors incorrecte per oblidar la correlació
«
Suposem que una variable física z es calcula com el quocient entre dues quantitats P i Q,
z = P / Q.
La variància de r és
Es podria donar el cas que les quantitats P i Q es determinin a partir de dues variables mesurades i que una d'aquestes variables o les dues, s'usin per calcular tant P com Q. Llavors,
P = P(x, y),
Q = Q(x, y).
En aquestes circumstàncies P i Q no són variables independents i la variància sz ha d'incloure el terme de la covariància sx,y que tal vegada no sigui menyspreable.
Una alternativa és escriure l'expressió de la variable física z directament en funció de les variables x i y, perquè si són independents tendran una covariància nul·la.
