Se cerca una expressió límit de la funció densitat de probabilitat (FDP) binomial en el cas n gran. Es demostrarà que

Figura 1. Els punts corresponen a la distribució binomial amb n = 1000 i p = 0.12. La línia groga és la gaussiana de mitjana 120 i variància 105.6.

1a) La suma dels n primers números naturals per a n gran,

2a) L'aproximació de n! per a n gran (veure apèndix les aproximacions de Stirling),

3a) La sèrie de Maclaurin per a x ≈ 0 (veure el tema sèries de Taylor),

Considerem l'índex m igual al número sencer més gran inferior a n p:

Es demostrarà aquí que

El quocient entre el valor de la distribució binomial per a dos valors consecutius es pot calcular de manera trivial:

Aplicant el quocient trobat al cas k = m + i resulta

Canviant el valor de m per n p, usant la definició q = 1 – p i negligint l'1 del numerador s'obté

Multiplicant i dividint per n, la darrera expressió dóna

El logaritme del quocient obtingut al final de l'apartat anterior es pot aproximar usant la sèrie de Maclaurin de ln(1 + x) perquè n és gran,

A partir d'aquesta relació aproximada es pot aïllar

L'aproximació es pot aplicar de manera repetida

Per tant, considerant que el producte d'exponencials es pot posar com exponencial de la suma d'exponents es tendrà

El sumatori es pot aproximar per i² / 2 de manera que

Per a

es té

Substituint

es troba

Es canvia

per obtenir

Simplificant termes s'obté directament

Els resultats dels dos apartats anteriors per a són

Amb ells es pot escriure

Definint

es troba que l'expressió aproximada per a la distribució binomial per a n gran és una gaussiana