Curs ADE: chi2G2

Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.

Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.

Exercicis i problemes

Test chi-quadrat / 2n^model

Anàlisi de la distribució d'un conjunt de valors «

Un programa d'ordenador genera valors per a una variable aleatòria gaussiana de mitjana i desviació estàndard determinades. S'ha generat una llista de 70 valors amb el programa per a les abscisses del conjunt de punts dibuixat a la figura. Les ordenades s'han obtingut d'una altra manera que no té importància aquí.

"ade_1.gif"

Es vol aplicar el test χ² per comprovar amb quina probabilitat els valors estan distribuits d'acord amb la funció de distribució de probabilitat gaussiana.

Com que la distribució gaussiana és continua, el domini de menys a més infinit s'ha de dividir en intervals. El nombre d'intervals no pots ser massa gran perquè hi ha d'haver almenys uns quatre o cinc casos dins cada un.

El domini es dividirà en 7 parts: Una part és la dels valors més petits que μ – 1.5σ, una altra és la dels valors més grans que μ +1.5σ, i les altres cinc parts són les que resulten de dividir l'interval d'amplada 3σ centrat en el valor de la mitjana dividit en 5 parts iguals. L'amplada d'aquests cinc intervals és

Δ = 3σ / 5.

A la taula adjunta es recull el nombre de valors generats pel programa que estan dins cada un dels intervals.

Interval	$O_{k}$
$x < μ - 2.5 Δ$	6
$μ - 2.5 Δ \leftrightarrow μ - 1.5 Δ$	10
$μ - 1.5 Δ \leftrightarrow μ - 0.5 Δ$	9
$μ - 0.5 Δ \leftrightarrow μ + 0.5 Δ$	18
$μ + 0.5 Δ \leftrightarrow μ + 1.5 Δ$	14
$μ + 1.5 Δ \leftrightarrow μ + 2.5 Δ$	6
$x \geq μ + 2.5 Δ$	7

a) Quina és la probabilitat que una variable aleatòria gaussiana tengui un valor més petit que μ – 1.5σ? Veure taula de la integral gaussiana.

b) Si es generen 70 valors, quants cal esperar que tenguin un valor més petit que μ – 1.5σ?

c) Calcula el valor esperat E_k del nombre de casos que, d'un conjunt de 70 valors, estaran dins cada un dels intervals de la taula.

d) Calcula χ² i usa la funció de distribució de χ² per a 7 graus de llibertat (el nombre d'intervals considerat) per calcular la probabilitat que χ² sigui més gran que el valor obtingut (taula de probabilitat de χ²).

e) Segons la probabilitat calculada a l'apartat anterior, es pot confiar que la llista de valors generats corresponen a una variable aleatòria gaussiana?

Solució »

a) Pr(x < μ – 1.5σ) = 6.7.

b) 70 Pr(x < μ – 1.5σ) = 4.7.

c) A la taula següent es recullen els valors esperats E_k.

Interval	$O_{k}$	$E_{k}$
$x < μ - 2.5 Δ$	6	4.7
$μ - 2.5 Δ \leftrightarrow μ - 1.5 Δ$	10	8.2
$μ - 1.5 Δ \leftrightarrow μ - 0.5 Δ$	9	13.9
$μ - 0.5 Δ \leftrightarrow μ + 0.5 Δ$	18	16.5
$μ + 0.5 Δ \leftrightarrow μ + 1.5 Δ$	14	13.9
$μ + 1.5 Δ \leftrightarrow μ + 2.5 Δ$	6	8.2
$x \geq μ + 2.5 Δ$	7	4.7

d) χ² = 4.36, Pr(χ² ≥ 4.36) amb 7 graus de llibertat = 73.80 %.

e) Quan es generen 70 valors d'una variable aleatòria gaussiana de la mitjana i la desviació estàndard donades, hi ha una probabilitat del 73.80% d'obtenir un valor de χ² tan gran o més que l'obtingut. Per tant, es vàlid considerar que els números obtinguts estan distribuits de manera gaussiana.

Anàlisi de la distribució d'un conjunt de valors «

Repeteix l'exercici anterior suposant que els valors generats per un altre programa similar donen el recompte mostrat a la taula.

Interval	$O_{k}$
$x < μ - 2.5 Δ$	8
$μ - 2.5 Δ \leftrightarrow μ - 1.5 Δ$	32
$μ - 1.5 Δ \leftrightarrow μ - 0.5 Δ$	36
$μ - 0.5 Δ \leftrightarrow μ + 0.5 Δ$	34
$μ + 0.5 Δ \leftrightarrow μ + 1.5 Δ$	28
$μ + 1.5 Δ \leftrightarrow μ + 2.5 Δ$	11
$x \geq μ + 2.5 Δ$	11

Solució »

A la taula següent es recullen els valors esperats E_k.

Interval	$O_{k}$	$E_{k}$
$x < μ - 2.5 Δ$	8	10.7
$μ - 2.5 Δ \leftrightarrow μ - 1.5 Δ$	32	18.8
$μ - 1.5 Δ \leftrightarrow μ - 0.5 Δ$	36	31.7
$μ - 0.5 Δ \leftrightarrow μ + 0.5 Δ$	34	37.7
$μ + 0.5 Δ \leftrightarrow μ + 1.5 Δ$	28	31.7
$μ + 1.5 Δ \leftrightarrow μ + 2.5 Δ$	11	18.8
$x \geq μ + 2.5 Δ$	11	10.7

Es troba χ² = 14.62. De manera que Pr(χ² ≥ 14.62) amb 7 graus de llibertat = 4.11 %.

Quan es generen 160 valors d'una variable aleatòria gaussiana de la mitjana i la desviació estàndard donades, només hi ha una probabilitat del 4.11% d'obtenir un valor de χ² tan gran o més que l'obtingut. Per tant, cal considerar que els números no estan distribuits de manera gaussiana.