Curs ADE: UnaVariable

Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.

Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.

Propagació de l'error

Derivades de funcions elementals d'una variable

Introducció «

Per fer la propagació d'errors i algunes demostracions d'aquest curs, s'hauran de calcular les derivades de diverses funcions. A continuació es presenta una llista de funcions d'una variable perquè es calculin les derivades i es comprovi que aquesta operació matemàtica se sap fer almenys amb les funcions elementals de la llista.

Regles bàsiques «

suma de dues funcions «

producte de dues funcions «

quocient de dues funcions «

funció composta «

potència de x «

exponencial «

logaritme «

Exercicis «

1) $5 x^{2}$ »

$10 x$

2) $3 x^{2} + 2 x + 5$ »

$6 x + 2$

3) $\frac{1}{x}$ »

$- \frac{1}{x^{2}}$

4) $\frac{3}{x^{2}}$ »

$- \frac{6}{x^{3}}$

5) $- \frac{5}{x^{3}}$ »

$\frac{15}{x^{4}}$

6) $x + \frac{1}{x}$ »

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

7) $\frac{x}{3 x + 2}$ »

$\frac{1}{3 x + 2} - \frac{3 x}{{(3 x + 2)}^{2}} \equiv \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

8) $\frac{x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ »

$\frac{2 x}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x + 2)}^{3}} \equiv \frac{4 x}{{(x + 2)}^{3}}$

9) $\frac{x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ »

$\frac{2 x^{2}}{{(2 - x)}^{3}} + \frac{2 x}{{(2 - x)}^{2}} \equiv - \frac{4 x}{{(x - 2)}^{3}}$

10) $e^{x}$ »

$e^{x}$

11) $e^{3 x}$ »

$3 e^{3 x}$

12) $e^{- 5 x}$ »

$- 5 e^{- 5 x}$

13) $e^{x^{2}}$ »

$2 e^{x^{2}} x$

14) $e^{{(x - 5)}^{2}}$ »

$2 e^{{(x - 5)}^{2}} (x - 5)$

15) $\log (x)$ »

$\frac{1}{x}$

16) $\log (7 x^{2})$ »

$\frac{2}{x}$

17) $\sin (x)$ »

$\cos (x)$

18) $\sin (4 x)$ »

$4 \cos (4 x)$

19) $\sin (x^{2})$ »

$2 x \cos (x^{2})$

20) $\sin^{2} (x)$ »

$2 \sin (x) \cos (x) \equiv \sin (2 x)$

21) $\sin (7 x^{2})$ »

$14 x \cos (7 x^{2})$

22) $\sin^{2} (5 x)$ »

$10 \sin (5 x) \cos (5 x) \equiv 5 \sin (10 x)$

23) $\cos (x^{2})$ »

$- 2 x \sin (x^{2})$

24) $\cos^{2} (x)$ »

$- 2 \sin (x) \cos (x)$

25) $\tan (x)$ »

$\sec^{2} (x)$

26) $5 x \sin (x)$ »

$5 \sin (x) + 5 x \cos (x)$

27) $x^{2} \cos (x)$ »

$2 x \cos (x) - x^{2} \sin (x)$

28) $\log (x) \sin (x)$ »

$\frac{\sin (x)}{x} + \log (x) \cos (x)$

29) $e^{- x} x$ »

$e^{- x} - e^{- x} x \equiv - e^{- x} (x - 1)$

30) $e^{- 5 x^{2}} x$ »

$e^{- 5 x^{2}} - 10 e^{- 5 x^{2}} x^{2} \equiv e^{- 5 x^{2}} (1 - 10 x^{2})$