Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.
Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.
Ajusts per mínims quadrats
Ajust amb una paràbola
Introducció «
A la Fig. 1 es mostra una paràbola, sis punts i els segments verticals que marquen la distància entre les ordenades dels punts i la corba. Els números al costat dels punts són les distàncies amb les mateixes unitats de l'eix d'ordenades. A la part superior del gràfic es dóna la suma dels quadrats de les distàncies. Amb els botons que hi ha a baix de la figura, es pot moure la paràbola. Amb el canvi de posició, les distàncies canvien i la suma dels quadrats passa per un valor mínim. En aquesta figura, la forma de la paràbola es manté fixa. Amb una altra forma, el mínim podria ser encara més petit.
Figura 1. Sis punts donats i les distàncies a una paràbola de forma fixa. Usa els botons per moure la paràbola.
Es considerarà el problema de la determinació dels paràmetres del polinomi
f(x) = a2 x2 + a1 x + a0
perquè la suma dels quadrats de les separacions entre la paràbola i un conjunt donat de n punts (xi, yi), i = 1..n, sigui mínima. La suma s'escriurà S(a2, a1, a0) per indicar que depèn dels coeficients del polinomi però no dels punts (les coordenades xi i yi tenen valors fixats). La suma val
Obtenció dels coeficients
«
Els valors dels paràmetres a2, a1 i a0 que minimitzen la suma S(a2, a1, a0) és poden obtenir cercant la solució de les equacions
Aquí s'ha usat que les derivades parcials d'una funció valen zero allà on la funció té un valor local mínim.
Equació (∂S/∂a2) = 0
«
S'aplica que la derivada d'una suma de funcions és la suma de les derivades:
Es deriva el terme al quadrat respecte de a2
S'usen les propietats dels sumatoris:
El factor 2 és comú als quatre sumatoris i, en igualar la derivada a 0, es podrà eliminar, queda així
Equació (∂S/∂a1) = 0
«
S'aplica que la derivada d'una suma de funcions és la suma de les derivades:
Es deriva el terme al quadrat respecte de a1
S'usen les propietats dels sumatoris:
El factor 2 és comú als quatre sumatoris i, en igualar la derivada a 0, es podrà eliminar, queda així
Equació (∂S/∂a0) = 0
«
S'aplica que la derivada d'una suma de funcions és la suma de les derivades:
Es deriva el terme al quadrat respecte de a0
S'usen les propietats dels sumatoris:
El factor 2 és comú als quatre sumatoris i es podrà eliminar en igualar la derivada a 0. Usant que el tercer sumatori (marcat en blau) és n a0 s'obté l'equació:
Les equacions en forma matricial
«
Les equacions obtingudes en els tres apartats anteriors es poden escriure en forma matricial i la resolució donarà els valors dels paràmetres que defineixen la paràbola cercada.
