A la Fig. 1 es mostra una línia que passa per l'origen, sis punts i els segments verticals que marquen la distància entre les ordenades dels punts i la línia. Els números al costat dels punts són les distàncies amb les mateixes unitats de l'eix d'ordenades. A la part superior del gràfic es dóna la suma dels quadrats de les distàncies. Amb els dos botons que hi ha a baix de la figura, es pot canviar el pendent de la recta. Si el pendent s'augmenta des del valor inicial mostrat, les distàncies canvien i la suma dels quadrats passa per un valor mínim.

• Menys pendent
• Més pendent

Figura 1. Sis punts donats (les coordenades s'indiquen a la Taula 1) i les distàncies a una recta que passa per l'origen (usa els botons per augmentar o disminuir el pendent de la recta).

La separació entre cada punt i la recta s'està mesurant en direcció vertical. Aquesta separació no és la distància del punt a la recta que, per definició, es mesura en la direcció perpendicular a la recta. Aquí interessa la diferència entre l'ordenada d'un punt i l'ordenada de la recta per a la mateixa abscissa i, per tant, la separació es mesura verticalment.

Es considerarà el problema general de la determinació del pendent de la recta

f(x) = a₁ x

perquè la suma dels quadrats de les separacions entre la recta i un conjunt donat de n punts (x_i, y_i), i = 1..n, sigui mínima. La suma s'escriurà S(a₁) per indicar que només depèn del pendent (els punts tenen coordenades amb valors determinats). La suma val

El gràfic de S(a₁) entre 1 i 1.5 per al conjunt de punts de la Fig. 1, es mostra a la figura següent. La corba és mínima per a un valor pròxim a a₁ = 1.24.

Figura 2. La suma dels quadrats de les distàncies dels sis punts de l'exemple de la Fig. 1 en funció del paràmetre a₁ que dóna el pendent de la recta. La suma té un valor mínim per a un valor del pendent  proper a 1.24.

El valor de a₁ on S és exactament mínima es pot obtenir cercant la solució de

Estàs avesat a derivar respecte de x? Els mínims i màxims d'una funció f(x) se cerquen amb l'equació que resulta d'igualar a zero la derivada de la funció respecte de x. Per a una funció que depengui d'una altra variable, els extrems s'han de cercar derivant la funció respecte d'aquesta altra variable i això és el que s'acaba de fer.

La derivada d'una suma de funcions és la suma de les derivades, per tant

La derivada de (a₁ x_i – y_i)² respecte de a₁ és  2 (a₁ x_i – y_i) x_i, llavors

Usant les propietats dels sumatoris

Finalment, s'iguala la derivada a 0 i s'obté l'equació

D'aquí s'obté directament

Per al conjunt de sis punts de l'exemple mostrat a la Fig. 1 es té

A la taula següent es donen les coordenades dels punts, les sumes per determinar a₁ i el càlcul de S mínim.

Taula 1. Taula amb les coordenades dels punts de l'exemple de la Fig. 1 i les càlculs per obtenir el pendent de la recta que s'ajusta als punts.