Curs ADE: Propagacio2V2

Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.

Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.

Exercicis i problemes

Propagació d'errors amb funcions de dues variables / 2n^model

1. Anàlisi de la incertesa amb funcions de dues variables «

Dues variables valen a = 48.6 ± 1.7 i b = 61 ± 2 (les unitats són arbitràries). Determina els valors màxim i mínim d'una variable r calculada amb les operacions indicades a la taula, el valor mitjà dels extrems i la separació entres els extrems. Finalment, presenta el resultat en la forma r₀ ± δ_r amb el nombre de xifres significatives adient, on r₀ = r(a₀, b₀) = r(48.6, 61) i

Compara δ_r amb (r_màx – r_min)/2.

Solució oculta » visible

Operació	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r \pm δ_{r}$
$\frac{a}{b}$	·	·	·	·	·
$\frac{a^{2}}{b}$	·	·	·	·	·
$\sqrt{\frac{a}{b}}$	·	·	·	·	·

Operació	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r \pm δ_{r}$
$\frac{a}{b}$	0.744	0.853	0.798	0.054	0.80 ± 0.05
$\frac{a^{2}}{b}$	34.91	42.88	38.90	3.98	39 ± 4
$\sqrt{\frac{a}{b}}$	0.863	0.923	0.893	0.030	0.89 ± 0.03

Es veu que δ_r dóna pràcticament el mateix que (r_màx – r_min)/2. La diferència és petita quan la funció és suau i l'interval d'incertesa petit.

2. Propagació de l'error amb funcions de dues variables «

La mesura de dues variables dóna a = 110.0 ± 2.5 i b = 85 ± 3 (les unitats són arbitràries). .A la taula es donen els valors màxim i mínim de la variable r calculada amb les funcions indicades, el valor mitjà dels extrems i la meitat de la distància entre els extrems. Calcula r₀ = r(a₀, b₀) = r(110.0, 85), la incertesa

i presenta el resultat en la forma r₀ ± δ_r amb el nombre de xifres significatives adient. Compara r₀ amb el valor central i δ_r amb (r_màx – r_min)/2.

Solució oculta » visible

Operació	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r_{0}$	$r \pm δ_{r}$
$\frac{a}{\sqrt{b} + 2}$	9.45	10.18	9.81	0.37
$\sqrt{5} \sqrt{a b}$	209.940	222.486	216.213	6.273
$\ln (a^{2} + b)$	9.362	9.453	9.407	0.045
$\ln (a) + \ln (b)$	9.084	9.200	9.142	0.058
$\ln (a) \ln (b)$	20.612	21.146	20.879	0.267

Operació	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r_{0}$	$r \pm δ_{r}$
$\frac{a}{\sqrt{b} + 2}$	9.45	10.18	9.81	0.37	9.80	9.8 ± 0.4
$\sqrt{5} \sqrt{a b}$	209.940	222.486	216.213	6.273	216.217	216 ± 6
$\ln (a^{2} + b)$	9.362	9.453	9.407	0.045	9.408	9.41 ± 0.05
$\ln (a) + \ln (b)$	9.084	9.200	9.142	0.058	9.143	9.14 ± 0.06
$\ln (a) \ln (b)$	20.612	21.146	20.879	0.267	20.883	21.00 ± 0.25

Es veu que r₀ i δ_r donen pràcticament el mateix que r_central i (r_màx – r_min)/2. Les diferències són negligibles quan la funció és suau i l'interval d'incertesa petit.

3. Funcions amb l'arrel quadrada «

Calcula el valors de la taula si a = 68 ± 2 i b = 44.9 ± 1.1. Determina la incertesa com en els exercicis anteriors.

Solució oculta » visible

Operació	$a + \sqrt{b}$	$a \sqrt{b}$	$\frac{a}{\sqrt{b}}$	$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$	$\frac{\sqrt{a}}{b}$
$r \pm δ_{r}$	·	·	·	·	·

Operació	$a + \sqrt{b}$	$a \sqrt{b}$	$\frac{a}{\sqrt{b}}$	$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$	$\frac{\sqrt{a}}{b}$
$r \pm δ_{r}$	75 ± 2	456 ± 18	10.1 ± 0.4	1.23 ± 0.03	0.184 ± 0.007

4. Funcions amb logaritme i exponencial «

Calcula el valors de la taula si a = 120.0 ± 2.5 i b = 41.1 ± 1.2. Determina la incertesa com en els exercicis anteriors.

Solució oculta » visible

Operació	$\ln (a b)$	$\ln (\frac{a}{b})$	$\exp (\frac{b}{10 a})$	$\exp (\frac{a}{b})$
$r \pm δ_{r}$	·	·	·	·

Operació	$\ln (a b)$	$\ln (\frac{a}{b})$	$\exp (\frac{b}{10 a})$	$\exp (\frac{a}{b})$
$r \pm δ_{r}$	8.50 ± 0.05	1.07 ± 0.05	1.0348 ± 0.0018	17.5 ± 2.5