Curs ADE: Propagacio2V1

Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.

Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.

Exercicis i problemes

Propagació d'errors amb funcions de dues variables / 1r^model

1. Anàlisi de la incertesa amb funcions de dues variables «

Dues variables valen a = 75.0 ± 2.5 i b = 58.3 ± 1.2 (les unitats són arbitràries). Determina els valors màxim i mínim d'una variable r calculada amb les operacions indicades a la taula, el valor mitjà dels extrems i la separació entres els extrems. Finalment, presenta el resultat en la forma r₀ ± δ_r amb el nombre de xifres significatives adient, on r₀ = r(a₀, b₀) = r(75.0, 58.3) i

Compara δ_r amb (r_màx – r_min)/2.

Solució oculta » visible

Operació	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r \pm δ_{r}$
$\frac{a}{b}$	·	·	·	·	·
$\frac{a^{2}}{b}$	·	·	·	·	·
$\sqrt{\frac{a}{b}}$	·	·	·	·	·

Operació	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r \pm δ_{r}$
$\frac{a}{b}$	1.218	1.357	1.288	0.069	1.29 ± 0.07
$\frac{a^{2}}{b}$	88.34	105.19	96.76	8.42	96 ± 8
$\sqrt{\frac{a}{b}}$	1.104	1.165	1.134	0.031	1.13 ± 0.03

Es veu que δ_r dóna pràcticament el mateix que (r_màx – r_min)/2. La diferència és petita quan la funció és suau i l'interval d'incertesa petit.

2. Propagació de l'error amb funcions de dues variables «

La mesura de dues variables dóna a = 86.2 ± 1.8 i b = 70.0 ± 2.5 (les unitats són arbitràries). .A la taula es donen els valors màxim i mínim de la variable r calculada amb les funcions indicades, el valor mitjà dels extrems i la meitat de la distància entre els extrems. Calcula r₀ = r(a₀, b₀) = r(86.2, 70.0), la incertesa

i presenta el resultat en la forma r₀ ± δ_r amb el nombre de xifres significatives adient. Compara r₀ amb el valor central i δ_r amb (r_màx – r_min)/2.

Solució oculta » visible

Operació	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r_{0}$	$r \pm δ_{r}$
$\frac{a}{\sqrt{b} + 2}$	8.03	8.61	8.32	0.29
$\sqrt{5} \sqrt{a b}$	168.775	178.606	173.690	4.915
$\ln (a^{2} + b)$	8.881	8.964	8.922	0.042
$\ln (a) + \ln (b)$	8.648	8.761	8.704	0.057
$\ln (a) \ln (b)$	18.683	19.179	18.931	0.248

Operació	$r_{\min}$	$r_{\max}$	$r_{central}$	$\frac{1}{2} (r_{\max} - r_{\min})$	$r_{0}$	$r \pm δ_{r}$
$\frac{a}{\sqrt{b} + 2}$	8.03	8.61	8.32	0.29	8.32	8.3 ± 0.3
$\sqrt{5} \sqrt{a b}$	168.775	178.606	173.690	4.915	173.695	174 ± 5
$\ln (a^{2} + b)$	8.881	8.964	8.922	0.042	8.923	8.92 ± 0.04
$\ln (a) + \ln (b)$	8.648	8.761	8.704	0.057	8.705	8.71 ± 0.06
$\ln (a) \ln (b)$	18.683	19.179	18.931	0.248	18.934	19.00 ± 0.25

Es veu que r₀ i δ_r donen pràcticament el mateix que r_central i (r_màx – r_min)/2. Les diferències són negligibles quan la funció és suau i l'interval d'incertesa petit.

3. Funcions amb l'arrel quadrada «

Calcula el valors de la taula si a = 50.3 ± 1.3 i b = 90.0 ± 2.5. Determina la incertesa com en els exercicis anteriors.

Solució oculta » visible

Operació	$a + \sqrt{b}$	$a \sqrt{b}$	$\frac{a}{\sqrt{b}}$	$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$	$\frac{\sqrt{a}}{b}$
$r \pm δ_{r}$	·	·	·	·	·

Operació	$a + \sqrt{b}$	$a \sqrt{b}$	$\frac{a}{\sqrt{b}}$	$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$	$\frac{\sqrt{a}}{b}$
$r \pm δ_{r}$	59.8 ± 1.4	477 ± 18	5.3 ± 0.2	0.75 ± 0.02	0.079 ± 0.003

4. Funcions amb logaritme i exponencial «

Calcula el valors de la taula si a = 98 ± 3 i b = 30 ± 1. Determina la incertesa com en els exercicis anteriors.

Solució oculta » visible

Operació	$\ln (a b)$	$\ln (\frac{a}{b})$	$\exp (\frac{b}{10 a})$	$\exp (\frac{a}{b})$
$r \pm δ_{r}$	·	·	·	·

Operació	$\ln (a b)$	$\ln (\frac{a}{b})$	$\exp (\frac{b}{10 a})$	$\exp (\frac{a}{b})$
$r \pm δ_{r}$	7.99 ± 0.06	1.18 ± 0.06	1.031 ± 0.002	26 ± 5