Es un fet freqüent que per mostrar una comparació dels valors númerics d'alguns conjunts es donin només les mitjanes. Però les mitjanes no solen ser suficients per interpretar les diferències entre els conjunts. La mitjana dels sous d'un col·lectiu pot ser alta perquè uns pocs guanyen molt o perquè tots guanyen bastant. Un conjunt de valors extret d'una població amb distribució normal està caracteritzat per la mitjana i la desviació estàndard. La informació és incompleta si només es dóna la mitjana, però almenys es té un dels paràmetres que caracteritzen la distribució. Si es desconeix el tipus de la distribució de les dades, la mitjana no dóna informació que es pugui usar per fer un anàlisi o extreure alguna predicció o conclusió.

Després de les eleccions que tingueren lloc a Catalunya al novembre de 2012, l'edició digital d'un diari poc afí al partit que aconseguí més vots destacà en una notícia que «cada escaño le ha 'costado' de media 22246 votos» i que cada escó li costà a un altre partit «nada menos que 42073 votos». Es donaven dues mitjanes 22246 i 42073 i es posava l'èmfasi en la diferència. És la mitjana un indicatiu que el primer partit va ser afavorit d'alguna manera?

Figura 1. Imatge del text del diari comentat en el text (ref.).

Els quatre districtes electorals de Catalunya (Barcelona, Girona, Lleida, i Tarragona) elegeixen els representats per separat. Dins cada districte s'aplica la llei d'Hondt. Aquesta llei regula el sistema proposat pel belga Victor d'Hondt al 1878 per atorgar càrrecs electes als partits participants en unes eleccions en funció dels vots aconseguits.

«...se ha considerado conveniente asegurar un número inicial de dos Diputados por provincia y dividir el resto de los Diputados en función de la población, atribuyendo un escaño por cada ciento cuarenta y cuatro mil quinientos habitantes o restos de población superiores a setenta mil...» (ref. Reial Decret de 1977).

La divisió per districtes causa a vegades protestes quan hi ha diferències notables entre el nombre de representants obtinguts i el que s'haurien obtingut amb un districte electoral únic. Però aquest és un assumpte distint que afecta a la decisió de la llei electoral de com s'han de repartir els representants per districtes, províncies o comunitats. En aquest enllaç hi ha un article que crítica al sistema electoral de representants al congrés de diputats espanyol. Aquests problemes i crítiques són independents del sistema de repartiment d'Hondt, el qual no està fet perquè el cost mitjà del nombre de representants aconseguits sigui uniforme.

En aquest tema es presenta el sistema d'Hondt amb un exemple numèric i es mostra que les diferències en les mitjanes que 'costen' els representants és intrínseca al sistema. El quocient del nombre de vots aconseguit per un partit dividit pel nombre de representats atorgats al partit és una mitjana que no és constant. De fet, el quocient és fa infinit per als partits que obtenen vots i no aconsegueixen cap representant.

Sigui una població de 285123 persones que ha d'elegir 19 representants a una junta. El sistema és de partits, de manera que les persones han d'estar en la llista d'un partit per poder ser elegides. Es presenten 7 partits, les sigles dels quals seran ABC, DEF, GHI, GP, MP, RST i SLSP. Cada partit ha de presentar una llista ordenada de fins a 19 possibles representants. La interpretació de les sigles és discrecional.

Se suposarà que 220884 persones han anat a votar, que hi ha 6008 vots en blanc i 3335 nuls. El resum de participació és el següent:

Addicionalment, se suposarà que els vots obtinguts pels partits són els següents

Es tracta de determinar el repartiment de representants d'acord amb aquest escrutini.

«El sistema electoral para el Congreso se inspira en criterios de representación proporcional con candidaturas completas, bloqueadas y cerradas, cuya presentación se reserva a los partidos y federaciones (...) y a los propios electores que deseen promover candidaturas determinadas y no de partido. La distribución de escaños se realizará de acuerdo con la regla "d'Hondt" (...) Esta misma regla ya supone un poderoso corrector del excesivo fraccionamiento de las representaciones parlamentarias. A esta misma finalidad, responde la exclusión en la atribución de escaños de aquellas listas de candidatos que no hubieran obtenido, al menos, el tres por ciento de los votos emitidos en la circunscripción.» (ref. Reial Decret de 1977).

El sistema electoral espanyol estableix ja des de la llei electoral de 1977 (l'any anterior al de l'aprovació de la Constitució Espanyola vigent) que un partit no entra en el repartiment de representants si té menys del 3% dels vots vàlids.

Els vots en blanc són vàlids. Per tant, el primer efecte dels vots en blanc en el repartiment de representants és augmentar el llindar del 3%. Els vots en blanc poden fer que els partits minoritaris quedin fora del repartiment de representants.

En l'exemple considerat, el llindar són 6526 vots. En conseqüència, els partits ABC i DEF no entren en el repartiment de representants.

És possible que si entrassin, tampoc se'ls hi hagués d'atogar un representant, però si hi ha molts de representants a la junta (que no és el cas aquí) hi podria haver partits amb menys del 3% del vots a qui correspongués algun representant.

Per aplicar el sistema d'Hondt al repartiment dels representants entre els partits, es procedeix a dividir el nombre de vots de cada partit que passa el tall del 3% per els números des de 1 fins al nombre de representants que s'han d'elegir. Els resultats de les divisions es posen per files en una taula i es marquen les 19 cel·les amb els valors més alts (19 és el nombre de representants). A la taula següent es mostra fins a la divisió per 8.

El nombre de cel·les marcades a cada fila dóna el nombre de representants que sortiran de cada partit. Els representants seran els primers de les llistes dels seus partits.

Segons la llei electoral, quan a la taula hi hagi dos valors iguals, si escau, el representant s'atribuirà a la llista que hagi obtingut el nombre total de vots més gran. Si hi hagués dues llistes amb igual nombre total de vots, el primer empat es resoldria per sorteig i els successius de manera alternativa. En el cas de l'exemple, el quocient 9836.5 surt a les files dels partits SLSP i RST. Si s'haguessin hagut d'elegir només 18 representants, el darrer correspondria al partit SLSP perquè aquest partit té més vots. Com que s'han d'elegir 19 representants, el quocient 9836.5 també dóna un representant al partit RST.

El nombre de representants i la mitjana nombre de vots dividit pel nombre de representants obtinguts per cada partit es mostren a la taula següent.

Les diferències en les mitjanes són intrínseques en el sistema de repartiment amb la llei d'Hondt i no es pot donar cap valor a que hi hagi una diferència de fins 3173 unitats entre dos valors (13009 –  9836). Com mostra l'exemple preparat, hi pot haver algun cas (SLSP i RST) on casualment el quocient entre el nombre de vots i el nombre de representants obtinguts és el mateix, però normalment això no passarà. Els valors dels quocients entre el nombre de vots als partits i el nombre de representants electes dels partits MP i SLSP són notablement diferents i els dos tenen quatre representants. Els partits GP i RST tenen dos representants cada un, però el GP té un nombre de vots que supera 1.3 vegades el nombre de vots de l'altra.

Arreu del món hi ha sistemes electorals diversos. Bastants de països de l'Europa continental apliquen com Espanya la llei d'Hondt. A la figura adjunta s'han marcat de color taronja. Alemanya, Dinamarca i alguns altres països apliquen una versió modificada per Sainte-Laguë. La modificació consisteix en dividir el nombre de vots per la successió de números imparells en lloc de la seqüència de naturals. Amb aquesta divisió, s'afavoreix als partits en menys vots perquè la seqüència de valors obtinguts per divisió disminueix més ràpidament. Una variant usada a Noruega i Suècia consisteix en dividir els vots per la seqüència d'imparells però substituint 1 per 1.4. D'aquesta manera, es posa un obstacle als partits amb pocs vots (com posa el límit del 3%). La taula següent mostra la diferència en la reducció dels quocients entre el sistema d'Hondt i el de Sainte-Laguë per a un partit amb 5040 vots.

Suposant que un partit PA tingués 5040 vots i un altre partit PB, 1009, el partit PA ja tendria quatre representants quan s'assignés el primer al partit PB amb el sistema d'Hondt, però amb el sistema de divisió per imparells, només en tendria dos.

Una població de 216195 persones ha d'elegir 17 representants a una junta. El sistema és de partits, de manera que les persones han d'estar en la llista d'un partit per poder ser elegides. Es presenten 8 partits. Cada partit ha de presentar una llista ordenada de fins a 17 possibles representants.

Voten 136925 persones i fet el recompte hi ha 3478 vots en blanc i 2412 nuls. Els vots que han obtingut els partits són els de la taula següent

a) Resumeix els resultats en una taula i determina quants de partits no aconsegueixen el mínim del 3% de vots vàlids?

Solució a) »

b) Determina quants de representants corresponen a cada partit aplicant la llei d'Hondt amb un mínim del 3% dels vots vàlids.

Solució b) »

c) Calcula la mitjana vots/representant aconseguits per a cada partit. Quina és la diferència entre la mitjana més baixa i la més alta?

Solució c) »

d) Suposa que ets un assessor electoral del partit menys votat que ha aconseguit algun representant. Quants de vots necessitaria el partit per aconseguir un representant més? (atès que hi ha abstenció i vots en blanc i nuls, pots suposar que els altres partits mantenen el mateix nombre de vots). Naturalment, hi hauria un partit que perdria un representant. Mostra com quedaria el nou repartiment.

Solució d) »

e) Com seria el repartiment de representants amb els divisors de Sainte-Laguë?

Solució e) »