Anàlisi de Dades Experimentals
© Antoni Amengual Colom. Departament de Física, Universitat de les Illes Balears.
Versió 1.0 publicada al setembre de 2013. DL: PM 860-2013.
Exercicis i problemes
Ajust per mínims quadrats / 3r model
1. Ajust recta que passa per l'origen
«
a) Determina amb tres decimals el coeficient a de la recta y = a x que ajusta per mínims quadrats els punts
| x | y |
| 2.9 | 0.67 |
| 6.4 | 1.70 |
| 9.1 | 1.99 |
| 12.6 | 3.53 |
| 15.3 | 3.81 |
| 18.3 | 4.39 |
b) Fes un gràfic amb els punts i la recta que els ajusta.
Solució »
2. Ajust rectilini
«
a) Determina amb tres decimals els coeficients a i b de la recta y = a x + b que ajusta per mínims quadrats els punts (x, y) de la taula.
| x (mmHg) | y (Pa) |
| 2.2 | 1.4 |
| 4.0 | 1.8 |
| 5.8 | 2.4 |
| 7.8 | 3.1 |
| 10 | 3.5 |
b) Fes un gràfic amb els punts i la recta que els ajusta.
Solució »
3. Ajust parabòlic
«
a) Dedueix les expressions que donen els valors de les constants a i b que minimitzen la suma S de les distàncies al quadrat de n punts Pi = (xi, yi) a la corba y = a x2 + b.
b) Determina la corba y = a x2 + b que ajusta per mínims quadrats els punts (4.1, -2.3), (7.8, -9.5) i (12.1, -23.3). Dóna les constants a i b amb tres decimals.
c) Fes un gràfic amb els tres punts i la corba que els ajusta.
Solució »
4. Elongació d'una molla
«
Considera una molla de constant elàstica k, longitud natural s0 i massa negligible. La molla tendrà una longitud x més gran que la natural quan es penji d'un punt fix i s'estiri pel pes d'una massa m. La força recuperadora és igual al pes quan la massa no es mou i es compleix la relació
k (s – s0) = m g,
on s – s0 és l'elongació de la molla i g, l'acceleració de la gravetat.
Es disposa de masses diverses i s'usen per mesurar la longitud de la molla sotmesa a pesos diferents.
a) Segons la relació donada, quin serà el pendent de la recta s(m)?
b) A la taula adjunta es donen els valors de l'elongació mesurada amb 5 masses penjades diferents. Què val la suma dels productes si mi?
| 0.173 | 0.437 |
| 0.392 | 0.500 |
| 0.468 | 0.519 |
| 0.698 | 0.600 |
| 0.834 | 0.612 |
c) Què val la suma dels quadrats de les masses? (Aquesta suma i l'anterior es necessiten per respondre l'apartat següent.)
d) Determina el valor del pendent de la recta que ajusta els punts per mínims quadrats i fes un gràfic dels punts amb la recta s(m)
e) Usa g = 9.80 m/s2 per determinar la constant elàstica de la molla en N/m.
f) Quina és la longitud natural en cm de la molla segons les mesures fetes?
g) Determina per mínims quadrats el pendent de la recta que ajusta els punts xi ≡ si, yi ≡ mi g i verifica que és igual a k.
Nota: Dóna els resultats demanats amb tres xifres decimals.
Solució »
5. Cal·librar un termòmetre
«
La resistència d'un filament metàl·lic augmenta amb la temperatura. Aquest fet permet construir termòmetres basats en la mesura de la resistència del filament. S'ha mesurat la resistència d'un filament a 7 temperatures conegudes. Els resultats han estat els de la taula.
| T (K) | R (Ω) |
| 277.03 | 14.0578 |
| 284.51 | 20.7064 |
| 297.41 | 26.9652 |
| 314.93 | 33.9999 |
| 335.18 | 41.2693 |
| 360.02 | 46.7703 |
| 383.23 | 52.9628 |
a) Determina els coeficients de la funció T (K) = a2 R2 + a1 R + a0 amb R expressat en ohms, que ajusta els valors mesurats per mínims quadrats.
b) Quina és la temperatura del filament si R = 14.3548 Ω?
c) I si R = 49.6520 Ω?
Solució »
