a) Determina amb tres decimals el coeficient a de la recta y = a x que ajusta per mínims quadrats els punts

x	y
2.7	0.39
5.3	0.79
8.1	1.23
10.8	1.81
13.2	2.41
16.3	2.71

b) Fes un gràfic amb els punts i la recta que els ajusta.

Solució »

a) Determina amb tres decimals els coeficients a i b de la recta y = a x + b que ajusta per mínims quadrats els punts (x, y) de la taula.

x (min)	y (cm)
4.9	-0.5
9.8	-2.0
14.9	-3.2
20.1	-5.1
25.2	-6.6

b) Fes un gràfic amb els punts i la recta que els ajusta.

Solució »

a) Dedueix les expressions que donen els valors de les constants a i b que minimitzen la suma S de les distàncies al quadrat de n punts P_i = (x_i, y_i) a la corba y = a x² + b.

b) Determina la corba y = a x² + b que ajusta per mínims quadrats els punts (4.1, 5.2), (7.8, 18.8) i (12.2, 42.2). Dóna les constants a i b amb tres decimals.  

c) Fes un gràfic amb els tres punts i la corba que els ajusta.

Solució »

Considera una molla de constant elàstica k, longitud natural s₀ i massa negligible. La molla tendrà una longitud x més gran que la natural quan es penji d'un punt fix i s'estiri pel pes d'una massa m. La força recuperadora és igual al pes quan la massa no es mou i es compleix la relació

k (s – s₀) = m g,

on s – s₀ és l'elongació de la molla i g, l'acceleració de la gravetat.

Es disposa de masses diverses i s'usen per mesurar la longitud  de la molla sotmesa a pesos diferents.

a) Segons la relació donada, quin serà el pendent de la recta s(m)?
b) A la taula adjunta es donen els valors de l'elongació mesurada amb 5 masses penjades diferents. Què val la suma dels productes s_i m_i?

$m_i\equiv \mathrm{massa}\left(\mathrm{kg}\right)$	$s_i\equiv \mathrm{elongació}\left(m\right)$
0.166	0.339
0.389	0.429
0.478	0.450
0.693	0.513
0.769	0.520

c) Què val la suma dels quadrats de les masses? (Aquesta suma i l'anterior es necessiten per respondre l'apartat següent.)
d) Determina el valor del pendent de la recta que ajusta els punts per mínims quadrats i fes un gràfic dels punts amb la recta s(m)
e) Usa g = 9.80 m/s² per determinar la constant elàstica de la molla en N/m.
f) Quina és la longitud natural en cm de la molla segons les mesures fetes?
g) Determina per mínims quadrats el pendent de la recta que ajusta els punts x_i ≡ s_i, y_i ≡ m_i g i verifica que és igual a k.
Nota: Dóna els resultats demanats amb tres xifres decimals.

Solució »

La resistència d'un filament metàl·lic augmenta amb la temperatura. Aquest fet permet construir termòmetres basats en la mesura de la resistència del filament. S'ha mesurat la resistència d'un filament a 7 temperatures conegudes. Els resultats han estat els de la taula.

T (K)	R (Ω)
277.97	14.8874
284.26	19.9757
295.73	25.5667
314.73	30.8004
331.56	35.7484
358.41	40.9345
388.31	47.6979

a) Usa un full de càlcul amb un ajust polinomial de segon ordre per determinr els coeficients de la funció T (K) = a₂ R² + a₁ R + a₀ amb R expressat en ohms, que ajusta els valors mesurats per mínims quadrats.
b) Quina és la temperatura del filament si R = 26.6234 Ω?
c) I si R = 43.2547 Ω?

Solució »