Exercici 0

Trobar el punt on s'anul·la el camp o el potencial sense usar coordenades es pot fer, però aquí s'han de fer els gràfics del camp i del potencial en funció de x. Per això es mostra l'ús de les funcions signe i valor absolut per expressar el camp i el potencial en funció de la coordenada.

a) El camp elèctric en els punts de l'eix x és un vector sobre el mateix eix. La component x del camp de cada càrrega és

on s'usa la funció que dona el signe de l'argument,

sgn(z) = 1 si z > 0,
sgn(z) = −1 si z < 0.

Resulta immediat comprovar que l'expressió matemàtica dona el camp repulsiu per a la càrrega positiva i atractiu per a la negativa.

Segment central: El camp elèctric no es pot anul·lar en cap punt de l'eix x entre les dues càrregues perquè el camp de cada una té el sentit de (vector unitari en la direcció de l'eix x).

Zona dreta: El camp tampoc es pot anul·lar a la dreta de la càrrega negativa perquè el camp és més gran en valor absolut que el de la positiva i el camp total té el sentit de −.

Zona esquerra: En aquesta zona els camps tenen direccions contràries i s'anul·laran en el punt (x, 0) on els mòduls dels dos camps siguini iguals,

Operant, aquesta igualtat es compleix quan

x² + 3.2 x + 0.16 = 0,

De les dues arrels de l'equació, la que queda a l'esquerra de la càrrega positiva és

x = −3.15 m

b) El potencial total en funció de x és

S'ha d'usar el valor absolut perquè el potencial d'una càrrega puntual depèn de la distància r de la càrrega al punt on es calcula el camp i el valor de r sempre és positiu.

Com que les càrregues són de signes contraris, el potencial s'anul·larà en un punt entre elles, un punt amb

x ∈ (−0.4 m, 0.4 m).

Llavors

|x + 0.4| = x + 0.4
|x − 0.4| = − (x − 0.4).

Substituint dins l'Eq. (1) igualada a zero es té

D'aquí s'obte la solució

x = −0.133 m

c) A la Fig. 1 es representa el valor de la component E_x de cada càrrega. Un valor negatiu indica que el camp va cap a l'esquerra.  

A la Fig. 2 es mostra el gràfic del potencial elèctric de les càrregues per separat i el total.