Exercici 0

a) El sistema consta d'una esfera metàl·lica amb una cavitat esfèrica concèntrica i una càrrega puntual en el centre de la cavitat. Per tant, el sistema té simetria esfèrica: El camp elèctric té la direcció radial i el mòdul només depèn de la distància al centre si no és nul. El flux a través d'una superfície S esfèrica de radi r centrada amb l'esfera s'ha calculat en exercicis anteriors i és

Φ = E(r) 4 π r².

La llei de Gauss estableix que aquest el flux ha de ser igual a la càrrega q_int que queda dins S. Llavors

Aquest mateix resultat s'ha obtingut en altres problemes on el sistema té simetria esfèrica.

Per calcular el camp a una distància r del centre s'ha de calcular la carrega que queda dins una esfera concèntrica de radi r.

Una superfície S de radi r < 8 cm només conté la càrrega de 10 μC. Per tant, el camp dins la cavitat és

El camp elèctrostàtic dins un conductor és nul:

Finalment, una superfície de radi r > 10 cm conté la càrrega de 10 μC  i les que pugui tenir el metall, però l'enunciat indica que la càrrega neta és nul·la, de manera que q_int = 10 μC i

b) El camp elèctric dins un conductor és nul. L'Eq. (2) indica que la càrrega q_int dins qualsevol superfície S que estigui dins el conductor ha de ser zero. Si el terme esquerra de l'Eq. (2) és zero, també ho ha de ser el de la dreta.

Dins S hi ha la càrrega de 10 μC i una càrrega induïda de −10 μC que, atreta per la càrrega positiva en el centre, s'ha repartit per la superfície de la cavitat amb la densitat

A l'interior d'un conductor en equilibri electrostàtic no hi pot haver càrrega elèctrica neta. La càrrega negativa que s'ha concentrar a la cara interna ha deixat la superfície externa de l'esfera carregada positivament amb 10 μC i la densitat

Els valors de les densitats a les superfícies interna i externa de l'esfera buida són

σ_i = −124.34 μC/m²
σ_e = 79.58 μC/m²

La densitat a la superfície interna i externa també es pot calcular a partir del camp perquè és radial i normal a les superfícies en tots els punts. La component normal del camp és proporcional a la densitat i la constant de proporcionalitat és 1/ε₀.