Exercici 0

a) La densitat de la distribució de càrrega només depèn de la distància al centre del nigul i, per tant, tendrà simetria esfèrica. Llavors, el camp elèctric que crea la distribució de càrregues té direcció radial i només depèn de la distància al centre de l'esfera,

E(r) = E(r) .

Per trobar la intensitat del camp en funció de r, s'aplica la llei de Gauss a la superfície S d'una esfera concèntrica amb la distribució de càrrega. El vector normal a la superfície serà paral·lel al radi en tots els punts

da = da.

Així, el flux del camp elèctric a través de S serà

La integral dels elements d'àrea sobre tota l'esfera és igual a l'àrea de l'esfera i queda

Φ = E(r) 4 π r².

Usant la llei de Gauss s'obté

Per tenir el valor del camp en els punts a una distància r del centre del nigul, s'ha de calcular la cárrega tancada per la superfície S de radi r.

Per a un punt fora del nigul, la superfície S que conté aquest punt envolta tot el ningul de càrrega. Llavors, s'ha d'integrar la densitat de càrrega des de zero fins al radi del nigul,

El resultat de la integració és

q_int = Q = 256 π / 15 μC = 53.62 μC

El camp elèctric a l'exterior o a la superfície del nigul esfèric és el mateix que si tota la càrrega estàs concentrada en el centre del nigul,

Per a un punt dins el nigul a una distància r del centre, la superfície S que conté el punt envolta només la part del nigul fins al radi r. Llavors, s'ha d'integrar la densitat de càrrega des de zero fins a r,

Llavors, l'Eq. (1) proporciona el camp a una distància de r metres al centre del nigul és

b) El camp a 1 m del centre del nigul es calcula amb l'Eq. (2) i a 3 m amb l'Eq. (3). A 2 m, les dues expressions són iguals:

E(1 m) = 128 kN/C
E(2 m) = 121 kN/C
E(3 m) = 53.6 kN/C

c) La funció de l'Eq. (3) és polinòmica i per a r = 0 val zero. La funció de l'Eq. (2) és decreixent i per a r tendint a infinit va a zero. Per tant, la representació gràfica de la funció E(r) presentarà un màxim per a  r < 2 m. La Fig. 1 és un esboç de la representació gràfica de la intensitat del camp en funció de la distància al centre del nigul.

d) El camp és nul en el centre del nigul perquè el camp causat per les càrregues al voltant d'un punt es cancel·la amb el camp causat per les càrregues que estan al voltant del punt sobre el mateix radi a l'altre banda del centre.

El camp també és nul a l'infinit perquè la distribució de les càrregues és finita i el camp decau amb la distància a les càrregues.

e) La distància dels punts on el camp és més intens al centre es determina calculant on s'anul·la la derivada del camp en funció de la distància:

El camp té el valor màxim a 1.49 m del centre i val

E(1.49 m) = 15.0 kN/C