Exercici 0

El camp elèctric generat per càrregues distribuïdes cilíndricament és perpendicular a l'eix del cilindre i la seva intensitat només depèn de la distància a l'eix, tant a l'interior com a l'exterior del cilindre de plàstic.

Camp a l'exterior (r ≥ R)

A la Fig. 1, s'ha representat amb el color taronja una part del cilindre infinit on hi ha les càrregues i amb el color gris una superfície cilíndrica de radi r tancada i concèntrica amb l'anterior, a la qual s'aplicarà la llei de Gauss per calcular el camp elèctric a la distància r de l'eix del cilindre. El dibuix s'ha duplicat per il·lustrar que la direcció del camp en punts de la tapadora superior és paral·lela a la superfície i, per tant, perpendicular al vector normal en cada punt  (Fig. 1a) i en punts de la superfície lateral, el camp és perpendicular a la superfície i, per tant, paral·lel al vector normal en cada punt (Fig. 1b).

La superfície S de radi r a la que s'aplicarà la llei de Gauss té una tapadora superior, una tapadora inferior i el lateral. En els punts de les tapadores superior i inferior, el camp és horitzontal i el vector normal és perpendicular al camp, de manera que el producte escalar E· és zero: El flux de camp elèctric a través de les tapadores és zero.

En els punts de la superfície lateral, el camp elèctric i el vector normal són paral·lels, de manera que

La càrrega tancada pel cilindre gris de radi r és tota la del cilindre de radi R i altura h,

q_int = (π R² h) ρ₀.

Aplicant la llei de Gauss, es té

D'aquí, s'obté

Camp a l'interior (r ≤ R)

Per calcular el camp a l'interior del cilindre de càrregues, s'ha de considerar una superfície cilíndrica concèntrica que queda dins el cilindre (Fig. 3). L'expressió del flux a través de la superfície és la mateixa Eq. (1).

La càrrega tancada per la superfície cilíndrica de radi r és

q_int = (π r² h) ρ₀.

Aplicant la llei de Gauss, es té

S'aïlla el camp d'aquesta equació i s'obté