Portada
Índex temesDinàmica
Bloc sobre un pla inclinat
Forces sobre el bloc i acceleració 
Un bloc de massa m està sobre un pla inclinat un angle α respecte de l'horitzontal.
Els eixos de coordenades cartesianes per analitzar el cas tendran l'eix x en la direcció del pla inclinat cap a dalt i l'eix y serà pependicular al pla cap a dalt, com s'han dibuixat a la Fig. 1. L'origen de coordenades en el dibuix s'ha situat en el centre de gravetat del bloc en la posició inicial per analitzar les forces.
Les forces sobre el bloc són de tres tipus:
1) La força d'atracció gravitatòria que es pot considerar aplicada en el centre de gravetat. El seu mòdul és P = m g, la direcció és vertical i té el setit cap a baix:
P = (−m g sin(α), −−m g cos(α)),
2) La força de contacte entre la base del bloc i el pla. El bloc fa una força sobre el pla i el pla fa una força sobre el bloc en sentit contrari. Aquesta força s'indica amb la lletra N perquè té una direcció normal (perpendicular) a la superfície de contacte.
N = (0, N).
3) La força de fregament. Té la direcció de l'eix x. A part del tipus de superfícies en contacte, la força de fregament depèn de si el bloc està aturat o es mou i, en aquest cas, del sentit del moviment. La intensitat màxima de la força de fregament R és proporcional a N.
R = (R, 0).
La força total és la suma de les tres forces,
F = P + N + R.
Les seves components són
Fx = −m g sin(α) + R,
Fy = N − m g cos(α).
Com que el bloc no es mou en direcció de l'eix y, l'acceleració ay i la component de la força Fy són zero. Per tant, es troba que la força que fa el pla sobre el bloc (i, per tant, la del bloc sobre el pla) és
N = m g cos(α)
En la direcció x, l'acceleració és
ax = Fx/m = −g sin(α) + R/m.
A continuació es considera aquesta darrera equació segon si el bloc està aturat o si es mou pel pla inclinat.
Bloc aturat
Se sap que el bloc està aturat
Si se sap que el bloc està aturat sobre el pla inclinat, ax val 0 i l'Eq. (4) permet calcular el valor de la força de fregament,
R = +m g sin(α)
Es vol saber si el bloc pot estar aturat
Si es vol saber si el bloc pot estar aturat per a una determinada inclinació del pla, és necessari que la component Fx sigui menor o igual que la força de fregament nàxima
m g sin(α) ≤ Rmàx.
El valor màxim de la força de fregament entre la base del bloc i la superfície del pla és
Rmàx = μe N.
on μe és el coeficient de fregament estàtic entre les dues superfícies en contacte. Usant l'Eq. (3) per substituir el valor de N, el bloc estarà aturat si
m g sin(α) ≤ μe m g cos(α).
Simplificant, s'obté
tan(α) ≤ μe.
Conegut el valor del coeficient de fricció estàtic, el bloc estarà aturat si la inclinació del pla no supera el valor
αlím = arctan(μe)
Bloc en moviment
Quan el bloc està en moviment, el mòdul de la força de fregament és proporcional a la força normal,
R = μd N = μd m g cos(α).
on μd és el coeficient de fregrament dinàmic. El valor d'aquest coeficient entre dues superfícies és inferior al del coeficient estàtic μe.
El sentit de la força de fregament és el contrari al del moviment. Si el bloc es mou cap avall, l'acceleració donada per l'Eq. (4) és
ax = (−sin(α) + μd cos(α)) g
Si el bloc es mou cap amunt perquè se li ha donat una velocitat inicial en aquest sentit, l'acceleració donada per l'Eq. (4) és
ax = −(sin(α) + μd cos(α)) g
Temps que tarda un bloc en caure per un pla inclinat
Quan de temps tarda un bloc a recórrer 2 m per un pla inclinat 30º amb un coeficiente de fricció μd = 0.4 després d'amollar-lo?
L'Eq. (5) proporciona l'acceleració amb que es mourà el bloc. S'obté
ax = −1.505 m/s2.
Es tracta d'un moviment uniformement accelerat. Com que l'acceleració és negativa, el desplaçament sobre l'eix x és negatiu. Llavors,
−2 = ax t2/2.
El temps que tarda el bloc en recòrrer 2 metres relliscant cap a baix en aquest pla inclinat és
t = 1.630 s
Bloc immobilitzat amb una corda
El bloc cau cap avall encara que hi hagi fregament si la inclinació és superior a un valor límit,
αlím ≥ arctan(μe)
Perquè el bloc no caigui, es pot enganxar una corda a la part superior del bloc. La força que haurà de fer aquesta corda en la direcció x perquè el bloc no rellisqui per avall ha de cancel·lar la component del pes en aquesta direcció menys la força de fregament. Usant l'Eq. (1), es troba que la component x de la força aplicada amb la corda ha de valer,
C = m g sin(α) − R.
Exercicis
1
Un bloc de 2 kg es deixa sobre un pla inclinat 30°. El fregament es pot negligir. Determinau quan de temps tarda el bloc a recórrer 2 m.
Resolució mostrar
2
Un bloc es mou sense fregament sobre un pla inclinat 28° i té una velocitat inicial de 4 m/s. Usau g = 9.80 m/s2 per calcular quan de temps tarda el bloc en:
a) Aturar-se i a quina distància es troba de la posició inicial quan s'ha aturat.
b) Recórrer 5 m des de l'instant inicial.
Resolució mostrar
